Сходимость по распределению
(перенаправлено с «Слабый предел»)
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 января 2020 года; проверки требуют 2 правки.
Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.
Определение[править | править код]
Пусть дано вероятностное пространство и определённые на нём случайные величины . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на , называемую её распределением.
Случайные величины сходятся по распределению к случайной величине , если распределения слабо сходятся к распределению , то есть
для любой непрерывной ограниченной[1][2] функции .
Замечания[править | править код]
- Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
- .
- Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.
Свойства сходимости по распределению[править | править код]
- Случайные величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности последней:
- .
- Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:
- то . Обратное, вообще говоря, неверно!
- Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в ) влечёт сходимость по распределению:
- .
- Обратное, вообще говоря, неверно.
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|