Струя (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Струя отображения f на многообразии M — это операция, сопоставляющая каждой точке x из M некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора f в точке x). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.

Струи на евклидовом пространстве[править | править вики-текст]

Аналитическое определение[править | править вики-текст]

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на p-адический анализ и т. п.

Пусть C^\infty(\R^n,\;\R^m) — векторное пространство гладких отображений f\colon\R^n\to\R^m. Пусть k — неотрицательное целое число, p — точка в \R^n. Определим класс эквивалентности E_p^k в этом пространстве следующим образом: две функции f и g эквивалентны порядка k, если они имеют равное значение в точке p и все их частные производные до k-го порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство k-струй (струй k-го порядка) на C^\infty(\R^n,\;\R^m) в точке p — это множество классов эквивалентности E^k_p; обозначается как J^k_p(\R^n,\;\R^m).

k-струя гладкого отображения f\in C^\infty(\R^n,\;\R^m) в точке p — это класс эквивалентности в J^k_p(\R^n,\;\R^m), содержащий f.

Алгебро-геометрическое определение[править | править вики-текст]

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть C^\infty(\R^n_p,\;\R^m) — векторное пространство ростков гладких отображений f\colon\R^n\to\R^m в точке p\in\R^n. Пусть \mathfrak{m}_p — идеал отображений, равных нулю в точке p (это максимальный идеал локального кольца C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)), а \mathfrak{m}_p^{k+1} — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке p с точностью до k-го порядка. Определим пространство струй в точке p как

J^k_p(\R^n,\;\R^m)=C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)/\mathfrak{m}_p^{k+1}.

Если f\colon\R^n\to\R^m — гладкое отображение, то можно определить k-струю f в точке p как элемент J^k_p(\R^n,\;\R^m), для которого

J^k_pf=f\,(\bmod\,\mathfrak{m}_p^{k+1}).

Теорема Тейлора[править | править вики-текст]

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами J^k_p(\R^n,\;\R^m) и \R^m[z]/(z^{k+1}), поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку[править | править вики-текст]

Мы определили пространство J^k_p(\R^n,\;\R^m) струй в точке p\in\R^n. Подпространство, содержащее те струи отображения f, для которых f(p)=q, обозначается

J^k_p(\R^n,\;\R^m)_q=\{J^kf\in J^k_p(\R^n,\;\R^m)\mid f(p)=q\}.

Струи сечений гладкого расслоения[править | править вики-текст]

Пусть Y\to X — гладкое расслоение. Струёй k-го порядка j^k_xs его сечений s называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до k-го порядка в точке x совпадают. Струи k-го порядка образуют гладкое многообразие J^kY, называемое многообразием струй.

Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй J^kY.

Литература[править | править вики-текст]

  • Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
  • Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
  • Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
  • Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886