Локальное кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Локальные кольца — кольца, которые относительно просты и позволяют описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.

Определение[править | править вики-текст]

Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:

  • R имеет единственный максимальный левый идеал;
  • R имеет единственный максимальный правый идеал;
  • Множество необратимых элементов R замкнуто относительно сложения и единица кольца не совпадает с нулем.

В этом случае единственный максимальный левый идеал свовпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.

Примеры[править | править вики-текст]

Ростки функций[править | править вики-текст]

Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо непрерывных действительнозначных функций, определённых в некоторой окрестности нуля. Введём на множестве таких функций отношение эквивалентности: две функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на некоторую окрестность нуля совпадают. Классы эквивалентности по этому отношению называются «ростками действительнозначных непрерывных функций в нуле», на ростках можно естественным образом ввести операции сложения и умножения, легко проверить, что ростки образуют кольцо.

Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.

В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многоообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.

Некоммутативные локальные кольца[править | править вики-текст]

Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений модулей в прямую сумму. А именно, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым. Обратно, если M — неразложимый модуль конечной длины, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле ненулеой характеристики p и G — конечная p-группа, то групповое кольцо k[G] является локальным.

Локализация кольца по простому идеалу[править | править вики-текст]

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и \mathfrak{p} — простой идеал в нём. Множество S_{\mathfrak{p}} = \{a\in R:\, a\notin \mathfrak{p}\} — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу \mathfrak{p}.

Локализацией R_{\mathfrak{p}} кольца R по простому идеалу \mathfrak{p} называется кольцо частных S_{\mathfrak{p}}^{-1}R кольца R по мультипликативной системе S_{\mathfrak{p}}. Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм \pi_{\mathfrak{p}} кольца R в S_{\mathfrak{p}}^{-1}R по формуле \pi_{\mathfrak{p}}(r)=r/1.

При этом все обратимые элементы в R_{\mathfrak{p}} имеют вид s_1/s_2, где оба элемента s_1,s_2\in S_{\mathfrak{p}}, а необратимые — имеют вид r/s, r\in \mathfrak{p},\,s\in S_{\mathfrak{p}} и образуют идеал \mathfrak{m}. Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца R_{\mathfrak{p}}, он — максимальный идеал, а R_{\mathfrak{p}} — локальное кольцо.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
  • Lam T.Y. A first course in noncommutative rings. — 2nd. — Springer-Verlag, 2001. — ISBN 0-387-95183-0
  • Jacobson Nathan Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Vol. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7