Теорема Крейна — Мильмана

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

пусть $L$ — локально-выпуклое пространство, $K$ — выпуклый компакт в $L$, $E$ — совокупность крайних точек $K$. Тогда $K$ совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества $E$.

Доказана советскими математиками Марком Григорьевичем Крейном и Давидом Пинхусовичем Мильманом (1940).

Доказательство

Пусть $H$ — выпуклая оболочка крайних точек $K$. Так как $K$ компактно и выпукло, то замыкание $\bar{H}\subset K.$ Поэтому $\bar{H}$ компактно. Предположим, что некоторая точка $x_0\in K$ и $x_0\notin \bar{H}$. Применяя теорему Хана — Банаха к $x_0$ и $\bar{H}$, показать, что $K_\Lambda\notin \bar{H}$ ($\Lambda\in \bar{H}$ — теорема Хана — Банаха). Таким образом мы получаем противоречие построению $\bar{H}$.

Теорема доказана.

Одно из приложений этой теоремы — доказательство неизоморфности различных банаховых пространств; другое — изящное доказательство де Бранжа теоремы Стоуна — Вейерштрасса.

Литература

• Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, 1988.