Теорема Крейна — Мильмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Extreme points illustration.png

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

пусть L — локально-выпуклое пространство, K — выпуклый компакт в L, E — совокупность крайних точек K. Тогда K совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества E.

Доказана советскими математиками Марком Григорьевичем Крейном и Давидом Пинхусовичем Мильманом (1940).

Доказательство

Пусть H — выпуклая оболочка крайних точек K. Так как K компактно и выпукло, то замыкание \bar{H}\subset K. Поэтому \bar{H} компактно. Предположим, что некоторая точка x_0\in K и x_0\notin \bar{H}. Применяя теорему Хана — Банаха к x_0 и \bar{H}, показать, что K_\Lambda\notin \bar{H} (\Lambda\in \bar{H} — теорема Хана — Банаха). Таким образом мы получаем противоречие построению \bar{H}.

Теорема доказана.

Одно из приложений этой теоремы — доказательство неизоморфности различных банаховых пространств; другое — изящное доказательство де Бранжа теоремы Стоуна — Вейерштрасса.

Литература[править | править вики-текст]

  • Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, 1988.