Выпуклая оболочка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Выпуклой оболочкой множества X называется наименьшее выпуклое множество, содержащее X. «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами (в частности в евклидовом пространстве) и на соответствующих аффинных пространствах.

Выпуклая оболочка множества X обычно обозначается \operatorname{Conv} X.

Пример[править | править вики-текст]

Выпуклая оболочка: пример с лассо

Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. Те гвозди, которых она касается, составляют выпуклую оболочку для всей группы гвоздей[1].

Свойства[править | править вики-текст]

  • X — выпуклое множество тогда и только тогда, когда \operatorname{Conv} X=X.
  • Для произвольного подмножества линейного пространства X существует единственная выпуклая оболочка \operatorname{Conv} X — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих X.
  • Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве.
  • Выпуклая оболочка X равна пересечению всех полупространств, содержащих X.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию \operatorname{Conv} f, что

\operatorname{epi}\; \operatorname{Conv} f = \operatorname{Conv}\; \operatorname{epi} f,

где epi f — надграфик функции f.

Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций. Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если \operatorname{Conv} f —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то

f^{**} = \overline{\operatorname{Conv}} f


\overline{\operatorname{Conv}} f — выпуклое замыкание f, то есть функция, надграфик которой является замыканием надграфика f.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Прапарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение = Computational Geometry An introduction. — М.: Мир, 1989. — С. 478.
  • Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 33. Вычислительная геометрия // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — ISBN 5-8459-0857-4
  • Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. — М.: БИНОМ, 1997. — С. 304.
  • Ананий В. Левитин Глава 3. Метод грубой силы: Поиск выпуклой оболочки. // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 157-157. — ISBN 0-201-74395-7

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Даниэль Хэльпер, курс «Построение алгоритмов», Хайфский университет.