Теорема Менелая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях — это классическая теорема аффинной геометрии.

Если точки $A', B'$ и $C'$ лежат соответственно на прямых $B C, C A$ и $A B$ треугольника $\triangle ABC$ или на их продолжениях, то они коллинеарны, тогда и только тогда, когда

$\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.$

Здесь $\frac{AB'}{B'C}$ , $\frac{CA'}{A'B}$ и $\frac{BC'}{C'A}$ обозначают отношения направленных отрезков. В частности, из теоремы следует соотношение для длин:

$\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.$

Доказательство

Проведем через точку С прямую, параллельую прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C' . Поскольку треугольники $\triangle AC'B'$ и $\triangle CKB'$ подобны (по двум углам), то

${|AC'| \over |CK|} = {|B'A| \over |B'C|}$

и, значит -

$|CK| = {|AC'| \cdot |B'C| \over |B'A|}$ .

С другой стороны, так как подобными являются также и треугольники $\triangle BC'A'$ и $\triangle CKA'$ , то

${|C'B| \over |CK|} = {|BA'| \over |A'C|}$

и, следовательно -

$|CK| = {|C'B| \cdot |A'C| \over |BA|'}$ .

Но в таком случае

${|AC'|\cdot |B'C| \over |B'A|} = {|C'B| \cdot |A'C| \over |BA'|}$

или

${|AC'| \over |C'B|} \cdot {|BA'| \over |A'C|} \cdot {|CB'| \over |B'A|} = 1$ .

Остаётся заметить возможны два расположения точек $A', B'$ и $C'$ , либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольник а одна на продолженни, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон, отсюда для отношений направленных отрезков имеем

$\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.$

[править] Вариации и обобщения

В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

$\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.$

[править] История

Эта теорема доказывается в третьей книге Сферики Менелая Александрийского (ок. 100 г. до н. э.) опубликованной Эдмундом Галлеем в 1758 году. Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу.

[править] Ссылки

Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. (1902)
Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. (1978)

[править] См. также

Теорема Чевы

Теорема Менелая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Вариации и обобщения

[править] История

[править] Ссылки

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках