Теорема Менелая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — это классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка[править | править вики-текст]

Teorema menelaya.gif

Если точки A',B' и C' лежат соответственно на сторонах BC,CA и AB треугольника \triangle ABC или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.

где \frac{AB'}{B'C}, \frac{CA'}{A'B} и \frac{BC'}{C'A} обозначают отношения векторов.


В частности, из теоремы следует соотношение для длин:

\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Тригонометрический эквивалент:
\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1, где все углы — ориентированные.
  • В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.
  • В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.
  • Теорема Менелая является следствием следующей теоремы:

Теорема (Дубовик[источник не указан 1256 дней]): Рассмотрим на комплексной плоскости положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть z_1,z_2, z_3 - комплексные числа, причём \frac{z_1z_2z_3}{(z_1-1)(z_2-1)(z_3-1)}=1. Рассмотрим точки плоскости А1, В1, С1 с комплексными координатами:

\begin{cases} a_1=(a-c)z_1+c; \\ 
b_1=(b-a)z_2+a; \\
c_1=(c-b)z_3+b.\end{cases}

Точки А1, В1, С1 коллинеарны тогда и только тогда, когда число \frac{z_1}{1-z_2}\in R.

Действительность одного из чисел z_1,z_2, z_3, в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А1, В1, С1 лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.

История[править | править вики-текст]

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки

Ссылки[править | править вики-текст]