Теорема Чевы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Teorema chevy.png

Теорема Чевы — это классическая теорема геометрии треугольника. Эта теорема аффинная, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях. Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Три чевианы AA', BB', CC' треугольника \triangle ABC конкурентны (то есть, проходят через одну точку или параллельны) тогда и только тогда, когда

|BA'|\cdot |CB'|\cdot |AC'|=|CA'|\cdot |AB'|\cdot |BC'|


Эту теорему можно обобщить на случай когда точки A', B', C' лежат на продолжениях сторон  BC, CA, AB. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков», оно определено для двух направленных отрезков XY и ZT на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается {XY}/{ZT}

Пусть A', B', C' лежат на прямых  BC, CA, AB треугольника \triangle ABC. Прямые AA', BB', CC' конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда

\frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1


Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Тригонометрическая теорема Чевы:
    \frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1.
При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть, \angle XYZ есть угол, на который надо повернуть прямую XY против часовой стрелки, чтоб получить прямую YZ.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]