Теорема Чевы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Чевы — это классическая теорема геометрии треугольника. Эта теорема аффинная, т. е. она может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Три чевианы AA',BB',CC' треугольника конкурентны (то есть, проходят через одну точку или параллельны) тогда и только тогда, когда

Эту теорему можно обобщить на случай когда точки A',B',C' лежат на продолжениях сторон BC,CA,AB. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков», оно определено для двух направленных отрезков XY и ZT на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается XY / ZT

Пусть A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' конкурентны тогда и только тогда, когда

[править] Вариации и обобщения

• Тригонометрическая теорема Чевы:

  

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть, есть угол на который надо повернуть прямую XY против часовой стрелки чтоб получить прямую XZ.

[править] Литература

• Г. С. М. Коксетер, С. П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. (1978) { DjVu | XML }