Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна — теорема о возможности равномерной полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного.

Пусть $K$ — компакт со связным дополнением на плоскости $\mathbb C$ комплексного переменного $z$. Тогда всякая функция $f$, непрерывная на $K$ и голоморфная в его внутренних точках, равномерно на $K$ приближается многочленами от $z$.

Из теоремы Мергеляна вытекает следующее утверждение.

Пусть $K$ — произвольный компакт на плоскости $\mathbb C$. Для того чтобы функция $f$, непрерывная на $K$ и голоморфная внутри $K$, равномерно приближалась многочленами от $z$, необходимо и достаточно, чтобы $f$ голоморфно продолжалась во все ограниченные связные компоненты множества $\mathbb C\backslash K$.

История

Эта теорема была доказана С. Н. Мергеляном. Она завершила большой цикл исследований по теории приближений в комплексной плоскости и имеет много применении в различных разделах комплексного анализа.

В случае, когда $K$ не имеет внутренних точек, это утверждение было доказано М. А. Лаврентьевым; а для случая, когда $K$ — замкнутая область со связным дополнением, соответствующая теорема доказана М. В. Келдышем.