Компактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение[править | править вики-текст]

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется относительно компактным, если его замыкание компактно.
  • Множество называется предкомпактным, если его пополнение компактно.
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Псевдокомпактное пространствотихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограниченна.
  • Счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
  • H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве.[1][2]

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[3]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства[править | править вики-текст]

  • Свойства, равносильные компактности:
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[4].
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
    • Топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в X .
  • Другие общие свойства:
  • Свойства компактных метрических пространств:

Примеры компактных множеств[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Бикомпактное пространство — понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие.[7] Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Келли, с. 209
  2. 1 2 3 H-замкнутое пространство - статья из математической энциклопедии. В.И.Пономарёв.
  3. Энгелькинг, с.208
  4. См. также Лемма о вложенных отрезках
  5. Энгелькинг, с.210
  6. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности
  7. Бикомпактное пространство, математическая энциклопедия

Литература[править | править вики-текст]