Связное пространство

Множество A связно, а множество B несвязно.

Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.

Связанные определения

• Каждое связное подмножество пространства $X$ содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства $X$.
  • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне не связным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство $\mathbb{Q}$ рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
• Если существует база топологии пространства $X$, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства $X$ и само пространство $X$ (в этой топологии) называются локально связными.
• Связное компактное Хаусдорфово пространство называется континуумом.

Свойства

• В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу.
  • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространстовм.
• Образ связного множества при непрерывном отображении — связен.
• Связность пространства — свойство топологическое, то есть инвариантное относительно гомеоморфизмов.
• Замыкание связного множества $A$ связно.
  • Более того, всякое «промежуточное» подмножество $B$ ($A\subset B \subset \bar{A}$) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество $A$ плотно в $B$, то множество $B$ тоже связно.
• Пусть $\{A_{\alpha}\}$ — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством $A$. Тогда множество $A \cup \bigcup_{\alpha} A_{\alpha}$ тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
• Декартово произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, декартово произведение будет несвязным.
• Каждая компонента пространства $X$ является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства $X$ не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества $A$ пространства $X$ — это максимальные связные подмножества множества $A$.
• Непрерывное отображение из связного пространства во вполне не связное сводится к отображению в одну точку.
• Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
• В локально связном пространстве, компоненты связности открыты.
• Любое линейно связное пространство связно.
  • Обратное неверно; например замыкание графика функции $\sin\tfrac1x$ связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок $[-1,1]$ на оси ординат).

Примеры

• Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума
• Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным
• Множество Мандельброта — пример связного множества

Вариации и обобщения

• Линейно связное пространство