Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График фунции комплексного переменного e1/z.
Центрирован относительно существенно особой точки z = 0.
Цвет отражает аргумент, а яркость — модуль значения функции.

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу[1].

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации[K 1]; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек)[2].

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»[K 2]. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»[K 3][3]. Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций[K 4][1].

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим[2]; в литературе на европейских языка теорема известна как «теорема Казорати-Вейерштрасса».

Формулировка[править | править исходный текст]

Каково бы ни было \,\varepsilon > 0, в любой окрестности существенно особой точки \,z_0 функции \,f(z) найдётся хотя бы одна точка \,z_1, в которой значение функции \,f(z) отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на \,\varepsilon.

Доказательство[править | править исходный текст]

Предположим, что теорема неверна, т.е.

\exists B \in \mathbb{C} \qquad \exists \varepsilon >0  \qquad \exists \eta_0 >0 : \qquad \forall z : |z-z_0|<\eta_0
 |f(z) - B| >\varepsilon

Рассмотрим вспомогательную функцию \psi(z)=\frac{1}{f(z)-B}. В силу нашего предположения функция \psi(z) определена и ограничена в \eta_0-окрестности точки z_0. Следовательно z_0 - устранимая особая точка \psi(z)[4]. Это означает, что разложение функции \psi(z) в окрестности точки z_0 имеет вид:

\psi(z) = (z-z_0)^m \stackrel{\sim}{\varphi}(z) \qquad \stackrel{\sim}{\varphi}(z) \neq 0.

Тогда, в силу определения функции \psi(z), в данной окрестности точки z_0 имеет место следующее разложение функции f(z):

f(z) = (z-z_0)^{-m}\varphi(z)+B,

где аналитическая функция \varphi(z)=\frac{1}{\stackrel{\sim}{\varphi}(z)} ограничена в \eta_0-окрестности точки z_0. Но такое разложение означает, что точка z_0 является полюсом или правильной точкой функции f(z), и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.


Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

  • Если точка z_0 является существенно особой для функции f(z), аналитической в некоторой проколотой окрестности U=\{z:\,0<|z-z_0|<\varepsilon\}, то для произвольного комплексного числа w можно найти последовательность \{z_n\}\subset U, сходящуюся к z_0, для которой \{f(z_n)\}\to w.
  • множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в \C.

Комментарии[править | править исходный текст]

  1. Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. — СПб., 1868.
  2. Сasоrаti F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
  3. Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
  4. С. Вriot, I. Bouquet. Theorie des fonctions doublement periodiques et em particulier des fonctions elliptiques. — 1859.

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. 1 2 Сохоцкого-Вейерштрасса теорема // Большая Советская Энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969-1978.
  2. 1 2 Б. В. Шабат. Распределение значений голоморфных отображений. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982..
  3. И. М. Виноградов. Сохоцкого теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985..
  4. Этот факт доказывается с помощью мажорантной оценки разложения функции в ряд Лорана.

Литература[править | править исходный текст]

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. — 1968, 448 стр.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.