Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение

Ток вероятности ${\vec {j}}$ определяется как

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi )$

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$

с плотностью вероятности $\rho$, заданной

$\rho =|\Psi |^{2}$.

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}=0$

где $V$ — объём и $S$ — граница объёма $V$. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если $\Psi$ — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах $V$, когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема $V$.

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в $V$ равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из $V$.

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

$\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}$

запишется в виде

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.$

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

${\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}$.

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0$

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной $L$ ($0<x<L$), волновые функции запишутся в виде

$\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

$j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$

поскольку $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что $\Psi$ - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных $x$, $y$, и $z$). Тогда

$P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

${\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV$

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма $V$ не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от $\Psi$:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi$

Результат подстановки в предыдущее уравнение для ${\frac {dP}{dt}}$ даёт

${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV$.

Теперь после перехода к дивергенции

$\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}$

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV$

Если теперь вспомним выражение для $P$ и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть ${\vec {j}}$ тогда запишем выражение

$\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0$

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов $V$, и интеграл можно опустить:

${\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0.$