Уравнение Лейна — Эмдена

Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена. Уравнение имеет вид

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,$

где $\xi$ — безразмерный радиус, $\theta$ связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ для центральной плотности $\rho _{c}$. Показатель $n$ является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

$P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,$

где $P$ и $\rho$ — давление и плотность, $K$ — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: $\theta (0)=1$ и $\theta '(0)=0$. Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом $n$. Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

Применение

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Вывод уравнения

Из условия гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho ,$

где $\rho$ является функцией $r$. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},$

где $m$ также является функцией $r$. Повторное дифференцирование приводит к выражению

${\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho ,\end{aligned}}$

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на $r^{2}$ и переносим слагаемые с производными $P$ в левой части:

$r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho .$

Делим обе части на $r^{2}$, при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ и $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$,то равенство примет вид

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}.$

Выполним подстановку $r=\alpha \xi$, где

$\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,$

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0.$

Из уравнения Пуассона

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho .$

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

${\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}},$

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

Решения

Для заданного значения индекса политропы $n$ обозначим решение уравнения как $\theta _{n}(\xi )$. В общем случае уравнение приходится решать численно для определения $\theta _{n}$. Существуют точные аналитические решения для определённых значений $n$, в частности для $n=0,1,5$. Для $n$ между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением $R=\alpha \xi _{1}$, где $\theta _{n}(\xi _{1})=0$.

Для данного решения $\theta _{n}$ профиль плотности задаётся выражением

$\rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}$.

Полную массу $M$ модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до $\xi _{1}$.

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}$, то есть

$P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}.$

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид $P=k_{B}\rho T/\mu$, где $k_{B}$ — постоянная Больцмана, $\mu$ — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:

$T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}.$

Точные решения

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы $n$.

n = 0

Если $n=0$, уравнение имеет вид

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0.$

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

$\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}.$

Поделим обе части на $\xi ^{2}$, проинтегрируем:

$\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.$

Граничные условия $\theta (0)=1$ и $\theta '(0)=0$ предполагают, что постоянные интегрирования равны $C_{0}=1$ и $C_{1}=0$. Следовательно,

$\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.$

n = 1

Если $n=1$, уравнение можно представить в виде

${\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0.$

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

$\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}.$

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

$a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}.$

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

$\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}.$

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы $\theta (\xi )\rightarrow 1$ при $\xi \rightarrow 0$. Тогда $a_{0}=1,a_{1}=0$, что даёт решение в виде

$\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}.$

n = 5

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0.$

Для ${\frac {d\theta }{d\xi }}$ получим

${\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}.$

Дифференцируем по ξ:

$\theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}={\frac {9}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.$

После упрощения получаем

$\theta ^{5}={\frac {1}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.$

Таким образом, уравнение имеет решение

$\theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}$

при $n=5$. Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

Численные решения

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

${\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}},$

${\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}.$

Здесь $\phi (\xi )$ представляет собой безразмерную массу, определяемую как $m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )$. Соответствующими начальными условиями являются $\phi (0)=0$ и $\theta (0)=1$. Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Гомологические переменные

Гомологически инвариантное уравнение

Известно, что если $\theta (\xi )$ является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$ является решением. Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

$U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}$

и

$V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}.$

После дифференцирования логарифмов данных переменных по $\xi$ получим выражения

${\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)$

и

${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)$.

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от $\xi$, после чего получим выражение

${\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right),$

являющееся уравнением первого порядка.

Топология гомологически инвариантного уравнения

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

${\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)$

и

${\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).$

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.

${\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{Критические точки}}&{\text{Собственные числа}}&{\text{Собственные векторы}}\\\hline (0,0)&3,-1&(1,0),(0,1)\\(3,0)&-3,2&(1,0),(-3n,5+5n)\\(0,n+1)&1,3-n&(0,1),(2-n,1+n)\\\left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)&{\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}&(1-n\mp \Delta _{n},4+4n)\\\hline \end{array}}$

Литература

Horedt, Georg P. Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — ISBN 978-1-4020-2350-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Lane-Emden Differential Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.