Уравнение Чандрасекара

Численное решения уравнения Чандрасекара

Уравне́ние Чандрасека́ра в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для распределения плотности сферически-симметричной изотермической газовой сферы под действием собственной силы гравитации, названная по имени американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара. Уравнение имеет вид

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi },$

где $\xi$ является безразмерным радиусом, $\psi$ связано с плотностью газовой сферы соотношением $\rho =\rho _{c}e^{-\psi }$, где $\rho _{c}$ представляет плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермического вещества взять политропное, записанное уравнение будет представлять собой уравнение Лейна — Эмдена. Обычно изотермическое приближение применяется при описании ядра звезды. В таком случае уравнение решают с начальными условиями

$\xi =0:\quad \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0.$

Уравнение также возникает и в других областях физики, например, в разработанной Д. А. Франк-Каменецким теории теплового взрыва в замкнутой оболочке.

Вывод уравнения

Для изотермической газовой звезды давление $p$ складывается из кинетического давления и давления излучения:

$p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}$,

где

• $\rho$ — плотность,
• $k_{B}$ — постоянная Больцмана,
• $W$ — средний молекулярный вес,
• $H$ — масса протона,
• $T$ — температура звезды,
• $\sigma$ — постоянная Стефана — Больцмана,
• $c$ — скорость света.

Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho ,$

где $r$ равно радиусу, измеряемому от центра, $G$ является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде

${\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho .$

Точное и асимптотическое решения

Вводя преобразования

$\psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2},$

где $\rho _{c}$ — плотность звезды в центральной части, получаем выражение

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }.$

Граничные условия таковы:

$\xi =0:\quad \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0.$

При $\xi \ll 1$ решение близко к

$\psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdot \cdot \cdot$

Ограничения модели

Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечной. Можно показать, что при $\xi \gg 1$,

${\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]$,

где $A$ и $\delta$ являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.

Особое решение

Преобразование $x=1/\xi$ приводит уравнение к виду

$x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }.$

Уравнение имеет особое решение вида

$e^{-\psi _{s}}=2x^{2},\quad {\text{or}}\quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2.$

Следовательно, можно ввести новую переменную $-\psi =2\ln x+z,$ при этом уравнение для $z$ можно вывести:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0,\quad \quad t=\ln x.$

Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную

$y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2,$

тогда

$y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0.$

Другие варианты уравнения

Уравнение можно привести к другому виду. Пусть

$u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }},$

тогда

${\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}={\frac {u-1}{u+v-3}}.$

Свойства

• Если $\psi (\xi )$ является решением уравнения Чандрасекара, то $\psi (A\xi )-2\ln A$ также является решением уравнения при произвольной константе $A$.
• Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию $d\psi /d\xi =0$ при $\xi =0$.