Факториал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i.

Например:

5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120.

По договорённости: 0! = 1. Также это равенство выполняется естественным образом:

0! = \Bigl.(n-1)!\Bigr|_{n=1} = \Bigl.\frac{n!}{n}\Bigr|_{n=1} = \frac{1!}{1} = 1

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …[1]

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция e^{e^n}).

Свойства[править | править вики-текст]

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}

Комбинаторная интерпретация[править | править вики-текст]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править | править вики-текст]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = \Gamma(n+1).

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=-1, -2, -3\ldots.

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t.

Поскольку \Pi(z) = \Gamma(z+1) \,, то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: \Pi(n) = n!. Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению \Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.

Формула Стирлинга[править | править вики-текст]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),

см. O-большое[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

При этом можно утверждать, что

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}.

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

  • 100! ≈ 9,33×10157;
  • 1000! ≈ 4,02×102567;
  • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа[править | править вики-текст]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.

Таким образом,

n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править | править вики-текст]

Для целого неотрицательного числа n:

\left( x^n \right)^{(n)}=n!

Например:

\left( x^5 \right)^{(5)} 
= \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right)'''
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' 
= {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Другие свойства[править | править вики-текст]

  • Для натурального числа n:
n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n

Обобщения[править | править вики-текст]

Двойной факториал[править | править вики-текст]

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

  • Для чётного n:
n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} 2i = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!
  • Для нечётного n:
n!! = {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n} = \prod_{i=0}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1) = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

  • Для чётного n:
n!! = \frac{(n+1)!}{(n+1)!!}
  • Для нечётного n:
n!! = \frac{n!}{(n-1)!!}

Осуществив замену n=2k для чётного n и n=2k+1 для нечётного n соответственно, где k — целое неотрицательное число, получим:

  • для чётного числа:
(2k)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!
  • для нечётного числа:
(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}

По договорённости: 0!! = 1. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …[3].

Кратный факториал[править | править вики-текст]

m-кратный факториал числа n обозначается \textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk-r, где k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}. Тогда[4]

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[5]:

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.

Неполный факториал[править | править вики-текст]

Убывающий факториал[править | править вики-текст]

Убывающим факториалом называется выражение

(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{i=n-k+1}^n i.

Например:

n = 7; k = 4,
(nk) + 1 = 4,
3k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править | править вики-текст]

Возрастающим факториалом называется выражение

n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Праймориал или примориал[править | править вики-текст]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.

Иногда праймориалом называют число n\#, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая {\textstyle{1\# \equiv 1}}) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …[6].

Суперфакториалы[править | править вики-текст]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

 \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем


  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Последовательность суперфакториалов чисел n \geqslant 0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …[7].

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n \geqslant 1 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …[8].

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k},

где \operatorname{mf}(n,0)=n для n>0 и \operatorname{mf}(0,m)=1.

Субфакториал[править | править вики-текст]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «факториал»

Примечания[править | править вики-текст]

  1. последовательность A000142 в OEIS
  2. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели)
  3. последовательность A006882 в OEIS
  4. «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
  5. последовательность A002110 в OEIS
  6. последовательность A000178 в OEIS
  7. последовательность A055462 в OEIS