Числа Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
\displaystyle{B_0=1}
B_1=-\frac12
B_2=\frac16
\displaystyle{B_3=0}
B_4=-\frac1{30}
\displaystyle{B_5=0}
B_6=\frac1{42}
\displaystyle{B_7=0}
B_8=-\frac1{30}
\displaystyle{B_9=0}
B_{10}=\frac5{66}
\displaystyle{B_{11}=0}
B_{12}=-\frac{691}{2730}
\displaystyle{B_{13}=0}
B_{14}=1\frac16
\displaystyle{B_{15}=0}
B_{16}=-7\frac{47}{510}
\displaystyle{B_{17}=0}
B_{18}=54\frac{775}{798}
\displaystyle{B_{19}=0}
B_{20}=-529\frac{41}{330}

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел B_0, B_1, B_2, \dots, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k \binom{k+1}{s} B_s N^{k+1-s},

где \tbinom{k+1}{s} = \tfrac{(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}биномиальный коэффициент.

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

\displaystyle{B_0=1\; ,}
B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.

Свойства[править | править вики-текст]

Написана в 1713 г.
  • Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме {\textstyle{B_1}}, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли {\textstyle{B_n(x)}} при {\textstyle{x=0}}:
\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}
B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
А также:
\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\; для всех натуральных n, больших 1.
  • \int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.
Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]