Числа Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

B 0 = 1

$B_1=-\frac12$

$B_2=\frac16$

B 3 = 0

$B_4=-\frac1{30}$

B 5 = 0

$B_6=\frac1{42}$

B 7 = 0

$B_8=-\frac1{30}$

B 9 = 0

$B_{10}=\frac5{66}$

B 11 = 0

$B_{12}=-\frac{691}{2730}$

B 13 = 0

$B_{14}=\frac76$

B 15 = 0

$B_{16}=-7\frac{47}{510}$

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел $B 0, B 1, B 2,...$ найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

$\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1-s}$

[править] Формула для чисел Бернулли

Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула: $B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}$

[править] Свойства

Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме $B 1$ , равны нулю, знаки $B 2 n$ чередуются.
Числа Бернулли являются значениями при $x = 0$ многочленов Бернулли: $B n = B n (0)$ .

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

$\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$ ,

$x\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$ ,
$\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$ .
Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана $ζ(s)$ при четных $s = 2 k$ :