Сила инерции

Силы инерции — широко используемое понятие для объяснения отсутствия или только тенденции к предотвращению любых изменений в различных областях жизни. Вне контекста физики/механики/математики, например, в философии, публицистике или художественной литературе, а также иногда и в разговорной речи, комбинация слов «сила инерции» может нередко употребляться просто как обозначение некоего влияния, обеспечивающего сохранение status quo. В таком употреблении это может быть никак не связано не только с каким-либо движением (то есть изменением положения в пространстве) но и с понятием силы, как оно употребляется в физике.

Величина силы в физике не зависит от положения наблюдателя, измеряющего эту силу, и его движений . Так, например, если величина силы определяется по изменению длины соответствующим образом откалиброванной пружины динамометра, то это изменение будет оставаться одним и тем же, независимо от того, из какой системы отсчёта (СО) оно наблюдается.

В точных науках сила инерции представляет собой понятие, привлекаемое при рассмотрении ускоренного движения материальных тел. Обычно понятие силы инерции используется в рамках классической (Ньютоновой) механики, используемой ниже.

Введение

Существует заметное многообразие методологических подходов в решении задач относительного движения материальных тел и, соответственно, различных формулировок используемых понятий, в частности и понятия о силе инерции. Так, например, в монографии она названа (de. Scheinkräfte) что, в зависимости от перевода может означать «мнимая», «кажущаяся», «видимая», «ложная», "фиктивная « и т. п.

В Англии она называется „псевдо силой“ : (en- pseudo force. ); „силой д’Аламбера“: (en.d’Alembert force ); или „инерционной силой“: (en.inertial force ) по-французски она называется „сила инерции“: (fr.Force d'inertie)и именно это название и носит эта сила в российском физическом языке.

Методологические расхождения приводят к различию в формулировках используемых терминов, что ведёт к появлению разницы в объяснении одних и тех же движений. При этом следует учесть, что:

…ошибки и недоразумения при рассмотрении задач, в которых фигурируют силы инерции, проистекают вследствие того, что в термин „сила инерции“ вкладывается разное содержание…Однако устранение широко распространённых дефектов терминологии представляет собой задачу почти безнадёжную. Выход из этого положения состоит в столь детальном рассмотрении физической картины, что на её фоне отчётливо выступают дефекты терминологии…

Это и побуждает к детальному рассмотрению возникновения физического феномена силы инерции, поскольку понимание этого феномена лежит в основе формирования адекватного действительности представления о классической физике в целом.

С точки зрения классической физики все материальные тела в Природе взаимодействуют друг с другом, изменяя характер своего движения путём влияния на изменение их ускорения. Из практических соображений применительно к каждой конкретной задаче оказывается целесообразно на время выделить из всей совокупности взаимодействующих тел одно и проследить его движение относительно других тел, рассматривая их как систему отсчёта (СО).

По умолчанию предполагается, что наблюдатель располагает исчерпывающей информацией, позволяющей ему учесть все виды воздействия на наблюдаемое тело со стороны окружающих его тел и полей, которые объединяются в понятии „реальная сила“. Допускается, что наблюдаемые тела снабжены телеметрической аппаратурой, в состав которой входят акселерометры, дающие показания об испытываемых телами ускорениях в связанных с движущимися телами системах отсчёта (СО).Это позволяет устранить подозрение о влиянии субъективности наблюдателя.

Определение понятия „сила инерции“

Векторная величина, равная произведению массы материальной точки на её ускорение и направленная противоположно ускорению называется силой инерции.

В приведённом выше определении отсутствует указание на положение в пространстве точки приложения этой силы.

Геометрия рассмотрения вопроса

В случае, если для описания движения тела избрана прямоугольная (Декартова) система координат, (далее -первая система координат), его перемещение в пространстве может быть описано с помощью другой (второй) прямоугольной системы, связанной с этим телом.

В ряде случаев эта система считается жёстко связанной с телом и потому его движение отождествляется с движением этой системы. При этом, когда допустимым оказывается рассмотрение тела в виде материальной точки, за её положение бывает удобно принять положение центра масс (или же центра инерции тела). В других случаях оказывается целесообразным допустить, что тело движется и в этой системе.

Рис.1 Материальная точка в двух СО .

Для рассмотрения вопроса о движении материальной точки с массой $m$ можно воспользоваться двумя системами Декартовых координат. При этом первую (нештрихованная) считать инерциальной, а вторую (штрихованную) неинерциальной, то есть движущейся по отношению к первой с ускорением. При этом изменение во времени радиуса-вектора ${\vec {r}}$ тела с массой ${m}$ считать движением абсолютным, а радиуса-вектора ${\vec {r}}^{\prime }$ — движением относительным. Перемещение штрихованной системы относительно нештрихованной при изменении радиуса-вектора ${\vec {R}}$ — движением переносным..

Тогда (Рис. 1):

${\vec {r}}$ = ${\vec {R}}$ + ${\vec {r}}^{\prime }$ (1)

Движение штрихованной системы системы (или жёстко связанного с ней тела) по своей траектории может быть описано также и как изменение во времени трёх координата его центра масс и поворотов его вокруг собственной оси (чистое вращение), причём положение этой оси в пространстве может изменяться во времени. Таким образом, для полного описания положения тела в данный момент требуется указание ещё трёх Эйлеровых углов : угла чистого вращения, угла нутации и угла прецессии

Следует отметить, что, в отличие от математического подхода, допускающего независимое задание каждому из углов Эйлера произвольного значения, для материальных тел между этими углами существует определённая зависимость, обусловленная гироскопическим эффектом

Рассматривая тело, как материальную точку, к которой неприменимо понятие вращения, приходим к описанию движения тела путём изменения только его трёх координат.

Существуют два отличающегося условиями наблюдения подхода в наименовании сил инерции.

Один из них заключается в анализе взаимодействия ускоряемого тела с окружающим его телами и физическими полями в некоторой СО, которая всегда лишь с той или иной степенью точности может считаться движущейся с постоянной скоростью, то есть без ускорения. Короче: речь идёт о силе инерции с точки зрения наблюдателя, отождествляющего себя с инерциальной системой отсчёта.(некоторые называют эту СО «лабораторной»).Это — случай, когда сила вызывает ускорение.Ниже эта сила инерции будет обозначаться ${\vec {F}}_{i_{1}}$.

Другой возникает благодаря учёту воздействия и на материальные тела, образующие саму СО,относительно которой движется изучаемое тело, и потому, возможно, движущуюся ускоренно (неинерциальная система отсчёта). Тем самым наблюдатель допускает, что он находится в ускоренно движущейся системе, в том числе и непосредственно связанной с движущимся телом. Это — случай, когда ускорение вызывает силу Ниже эта сила инерции будет обозначаться ${\vec {F}}_{i_{2}}$.

Обе этих силы реальны (не в смысле их происхождения, а в смысле их проявления), поскольку их можно измерить, специальной аппаратурой (динамометрия, акселерометрия) и они реально совершают работу (например — для свободно движущихся тел увеличивают их кинетическую энергию).

Наконец, имеется случай, когда в рассмотрение вводятся подлинно отсутствующие в природе силы инерции, т.е силы, не способные совершить работу и которые невозможно измерить никакой физической аппаратурой. Эти силы вводятся ради использования искусственного математического приёма, основанного на применении принципа Даламбера в формулировке Лагранжа, где задача на реальное движение с помощью введения представления о фиктивных силах инерции формально сводится к проблеме равновесия ,

В кругах физиков просматривается тенденция присоединять эпитет «фиктивная» к силам инерции любого типа.

Силы

Независимо от своей природы, то есть от физических явлений, вызывающих их появление, все силы проявляют себя только механически, вызывая ускоренное движение тел, обладающих массой.

Некоторые из этих сил возникают лишь при непосредственном контакте тел и полностью исчезают при его прерывании. Возникая, как и всегда в паре, та из них, которая в данных конкретных условиях действует на тело, движение которого является предметом рассмотрения, называется реакцией связи. Другие силы существуют независимо от тел, на которые они могли бы подействовать.

Как контактные силы, так и силы, задаваемые полями, принято называть реальными силами. В рамках классической физики всё разнообразие наблюдаемых в природе сил в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями. Но до этого, как правило, дело не доходит и в различных областях физики можно встретить множество сил, удовлетворительно объясняющих движение в каждой конкретной задаче.

Движение тел, не испытывающих ограничений в своём движении из-за наложенных на него связей, принято считать свободным. , .

Ньютон и Максвелл (Первый закон Ньютона )

Он нередко называется принципом и потому допускает различия в словесной форме его выражения. При этом весьма распространено, основанное на фомулировке, данной самим Ньютоном, но ведущее к неправильным выводам изложение в виде:

«Всякое тело сопротивляется изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения под действием внешней силы».

Или же:

«Всякое тело стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока не подействует внешняя сила»

Таким образом с точки зрения истории естествознания ключевым моментом в в подобном толковании рассматриваемого здесь понятия «сила инерции» является утверждение о наличии у предметов материального мира неких волевых качеств. Это было в начале формирования научных представлений об окружающем мире весьма распространённым способом обобщения результатов наблюдения за явлениями природы и выяснения свойственных ей общих закономерностей.

Примером такого анималистического представления о природе являлся, например, бытовавший в натурфилософии принцип: «Природа боится пустоты», от которого пришлось отказаться после эксперимента Торричелли (Торричеллиева пустота). Или же о приписывании материальным телам некоего абстрактного свойства инертности

Отголоском этой традиции и является представление о некоем фундаментальном свойстве инертности, как о материальном свойстве вселенской значимости и о некоей силе, реализующей это свойство в форме сопротивления или стремления к сохранению параметров движения. О существовании такой силы уместно было бы говорить, если бы, например, вопреки действующим силам, движущееся тело сохраняло бы свою скорость, но это не так. В связи с этим Максвелл заметил, что, с таким же успехом можно было бы сказать, что кофе сопротивляется тому, чтобы стать сладким, апеллируя к тому, что оно становится сладким не само по себе, а лишь после того, что в него положен сахар . .

При корректном ; своём истолковании Первый закон Ньютона сводится к утверждению, что:

Возможно существование, множества систем отсчёта, в которых скорость движения материального тела как по величине, так и по направлению остаётся постоянной, пока действующими на тело внешними причинами, называемыми силами, оно не будет выведено из этого состояния

При этом Ньютон исходил из предположения, что среди этих систем существует наиболее предпочтительная (сам Ньютон связывал её с эфиром, заполняющим всё пространство). Дальнейшее развитие физики показало, что такой системы нет, но это привело к необходимости выйти за пределы классической физики. Более того, наличие вездесущего гравитационного поля, от которого нет защиты, исключает в принципе возможность реализации указанных в Первом законе систем отсчёта, которые остаются лишь абстракцией, принятие которой связано с сознательным допущением ошибок получаемого результата.

Второй закон Ньютона

Заключается в утверждении, что между силой ${\vec {F}}$ и вызываемым ею ускорением:${\vec {a}}$ существует прямая пропорциональность, что записывается виде:

${\vec {a}}$ = ${\frac {\vec {F}}{m_{i}}}$ (2)

Здесь входящий в коэффициент пропорциональности скаляр $m_{i}$ есть инертная масса.

Экспериментально доказано, что для любого тела масса, входящая в выражение Второго закона Ньютона и в его закон Всемирного тяготения полностью эквивалентны $m_{G}$ = $m_{i}$ (3)

Поэтому ниже масса тела будет обозначаться без индексов как $m$

Равенство инерционной и инертной масс является, как это рассматривается в Специальной теории относительности, фундаментальным свойством пространства-времени. Его рассмотрение выходит за рамки классической механики.

Рассматриваемое тело с массой (точнее — инертной массой) $m$ приобретает отличающееся от нуля ускорение $a$ в тот же момент $t=0$, когда начинает действовать на него сила $F$. (Второй закон Ньютона :${\vec {F}}=m{\vec {a}}$). Однако справедливо и то, что для достижения отличающейся от нуля скорости $v$ требуется некоторое время $t$ в соответствие с определением импульса силы : $t=mv/F$ .Или, иначе, скорость тела не изменяется сама по себе, без причины, но она начинает изменяться тотчас, как на него начинает действовать сила. Таким образом нет никаких оснований для введения представлений о каком либо сопротивлении воздействию или же о некоем «свойстве инертности». .

Повсеместно принято считать, что Второй закон справедлив только в инерциальных СО и не выполняется в системах неинерциальных. С учётом того, что инерциальные системы принципиально не реализуемы, Второй закон логично бы считать также никогда не выполняемым. Однако положенная в его основу идея пропорциональности получаемого телом ускорения всем, действующих на него силам, независимо от их происхождения, позволяет путём учёта «фиктивных» сил инерции распространить действие ньютонианской аксиоматики и на механику реальных движений реальных тел. .

Рис.2 Реальное ослабление напряжённости гравитационного поля земли ${g<g_{0}}$ под действием фиктивной силы инерции (центробежной силы), создающей ускорение $a$. Чертёж относится к неинерциальной СО, связанной с поверхностью вращающейся Земли. (Picture by ,)

Как и другие утверждения, подлежащие экспериментальной проверке, Второй закон может быть справедлив только в том, случае, когда входящие в него величины могут быть измерены независимо каждая по-отдельности. Современная экспериментальная техника обеспечивает достаточно высокую точность измерений как силы, так и массы и ускорения. Эти измерения неизменно экспериментально подтверждают (в рамках классической механики) справедливость упомянутой экстраполяции Второго закона ,

Третий закон Ньютона

Утверждает, что силы, действующие со стороны одних тел на другие всегда имеют характер взаимодействия, т.е если первое тело ускоряет второе, то и второе ускоряет первое. При этом при любом виде силового взаимодействия и независимо от того меняется ли расстояние между телами и вообще движутся ли они, всегда выполняется условие:

${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}$ (4)

То есть ускорения, сообщаемые друг другу, при взаимодействии двух тел направлены навстречу друг другу и обратно пропорциональны массам тел.

Вводя в выражение (4) определение для инертной массы тел из Второго закона, приходим к общепринятой записи третьего закона Ньютона в его собственной формулировке:

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе: взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны"

:

${\vec {F}}_{1}$ = — ${\vec {F}}_{2}$ (5)

Механика Ньютона инвариантна по отношению к Стреле времени, что проявляется в том, что она допускает ход движения тел как в прямой, так и обратной по отношению ко времени последовательности. Это находит своё выражение и в Третьем законе, подразумевающем одновременное возникновение силы действия и силы противодействия, независимо от предыстории описываемого физического процесса.

Однако в Природе существует причинно-следственный порядок между происходящими событиями, в силу которого они располагаются в определённой последовательности во времени (в космических масштабах причинно-следственной связи может и не быть ввиду конечной скорости распространения любого силового взаимодействия, что является исходным положением специальной теории относительности). И поэтому представляется логичным, при взаимодействии двух тел, то из них, которое испытало ускорение, порождённое действием другого, считать пассивным, то есть ускоряемым, а другое — активным, то есть ускоряющим..

С точки зрения анализа динамики движения важно знать, в какой системе из рассматриваемых ниже двух систем находится наблюдатель и, что самое важное, знать (в случае, если наблюдатель находится во второй, движущейся системе), является ли эта система инерциальной, или нет.

Движение по прямой в инерциальной СО

Математика считает векторы равными в том случае, если они коллинеарны, а их модули равны. Никаких уточнений относительно взаимного расположения начал равных векторов векторная алгебра не устанавливает. В физике указание на точку приложения вектора подчас имеет решающее значение, например, при разъяснения смысла Третьего закона Ньютона

Выполнив тривиальную математическую операцию в выражении (5) и перенеся член из правой части в левую, получаем безупречную математически запись: ${\vec {F}}_{1}$ + ${\vec {F}}_{2}$ = 0 (6)

С физической точки зрения сложение векторов сил имеет своим результатом получение равнодействующей силы. В таком случае прочтённое с точки зрения физики выражение (6) означает, с одной стороны, что равнодействующая сил равна нулю и, следовательно, оба тела не могут двигаться ускоренно. С другой стороны здесь не высказаны никакие запреты на ускоренное движение тел. Получается, что тело движется ускоренно при отсутствии действующих на него сил.

Это противоречие разрешается тем, что понятие о равнодействующей возникает лишь в случае оценки совместного действия нескольких сил на одно и то же тело. В данном же случае, хотя силы равны по модулю и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому не уравновешивают друг друга, поскольку на каждое из взаимодействующих тел действует лишь одна из них. Равенство (6)не указывает на взаимную нейтрализацию их действия.

Повсеместно используется запись уравнения, выражающего второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта: ${\vec {F}}_{r}=m{\vec {a}}_{r}$ (7)

Если ${\vec {F}}_{r}$ есть результирующая всех реальных сил, действующих на тело, то это выражение, представляющее собой каноническую запись Второго закона, является просто утверждением, что получаемое телом ускорение пропорционально этой силе и массе тела. Оба выражения, стоящие в каждой части этого равенства относятся к одному и тому же телу и обозначают одно и то же..

Но выражение (7) может быть подобно (6) переписано как: ${\vec {F}}_{r}-m{\vec {a}}_{r}$ =0 (8)

Для постороннего, находящегося в инерциальной системе наблюдателя и анализирующего ускорение тела, на основании сказанного выше такая запись имеет физический смысл только в том случае, если члены в левой части равенства относятся к силам, возникающим одновременно, но относящимся к разным телам. И в (8) второй член слева представляет собой такую же по величине силу, но направленную в противоположную сторону и приложенную к другому телу, а именно силу ${\vec {F}}_{i_{1}}$, то есть

${\vec {F}}_{i_{1}}=-m{\vec {a}}_{r}$ (9)

В случае, когда оказывается целесообразным разделение взаимодействующих тел на ускоряемое и ускоряющее и, чтобы отличить действующие тогда на основании Третьего закона силы, те из них, которые действуют со стороны ускоряемого тела на ускоряющее называют силами инерции ${\vec {F}}_{i_{1}}$ или, как предложено в «ньютоновыми силами инерции» что соответствует записи выражения (5) для Третьего закона в новых обозначениях: ${\vec {F}}_{r}=-{\vec {F}}_{i_{1}}$ (10)

Существенно, что сила действия ускоряющего тела на ускоряемое и сила инерции имеют одно и то же происхождение и, если массы взаимодействующих тел близки друг другу настолько, что и получаемые ими ускорения сравнимы по величине, то введение особого наименования «сила инерции» является лишь следствием достигнутой договорённости. Оно так же условно, как и само деление сил на действие и противодействие.

Иначе обстоит дело, когда массы взаимодействующих тел несравнимы между собой (человек и твёрдый пол, отталкиваясь от которого он идёт).В этом случае деление тел на ускоряющие и ускоряемые становится вполне отчётливым, а ускоряющее тело может рассматриваться как связь, ускоряющая тело, но не ускоряемая сама по себе.

Пример 1 При движении тела по окружности под действием центростремительной силы ${\vec {F}}_{r}$ , являющейся одновременно результатом наложенной на движение тела связи, действующая на эту связь сила $-{\vec {F}}_{i_{1}}$ будет одновременно и силой противодействия, и «центробежной силой инерции»

В инерциальной СОсила инерции не приложена к ускоряемому телу, но к связи.

Движение в неинерциальной СО

Дважды продифференцировав по времени обе части равенства (1) получаем: ${\vec {a}}_{r}$ = ${\vec {a}}_{R}$+ ${\vec {a}}_{r^{\prime }}$ (11), где:

${\vec {a}}_{r}$=${\ddot {r}}$ есть ускорение тела в инерциальной СО, далее называемое абсолютным ускорением.

${\vec {a}}_{R}$=${\ddot {R}}$ есть ускорение неинерциальной СО в инерциальной СО, далее называемое переносным ускорением

${\vec {a}}_{r^{\prime }}$=${\ddot {\vec {r}}}{^{\prime }}$ есть ускорение тела в неинерциальной СО, далее называемое относительным ускорением.

Относительное ускорение вполне реально , поскольку разница двух реальных величин по (11) ${\vec {a}}_{r}$ — ${\vec {a}}_{R}$ = ${\vec {a}}_{r^{\prime }}$ не может быть не реальной.

Умножим обе части уравнения (11) на массу тела ${m}$ и получим:

$m{\vec {a}}_{r}=m{\vec {a}}_{R}+m{\vec {a}}_{r^{\prime }}$ (12)

В соответствие со Вторым законом Ньютона, сформулированного им для инерциальных систем член слева и первый член из равенства справа являются результатам умножения масс на векторы, определяемые в инерциальной системе и потому с ними можно связать реальные силы:

$m{\vec {a}}_{r}$ = ${\vec {F}}_{r}$. Это сила, действующая на тело в первой (инерциальной) СО, которая будет здесь названа «абсолютной силой»

$m{\vec {a}}_{R}={\vec {F}}_{R}$

Это сила, действующая на материальное тело, несущее вторую (неинерциальную) СО. Ускорение которой наблюдается в первой (инерциальной) СО. Эта сила по принятым для наименования происходящих движений должна быть названа «переносной»

Перенося выражения для абсолютной и переносной силы в левую часть равенства:

$m{\vec {a}}_{r}-m{\vec {a}}_{R}=m{\vec {a}}_{r^{\prime }}$ (13)

и применяя введённые обозначения, получаем:

${\vec {F}}_{r}$ — ${\vec {F}}_{R}$ = $m{\vec {a}}_{r^{\prime }}$ (14)

Отсюда видно, что вследствие ускорения в новой системе отсчёта на тело действует не полная сила ${\vec {F}}_{r}$, но лишь её часть ${\vec {F}}^{\prime }$ оставшаяся после вычитания из неё реальной силы ${\vec {F}}_{R}$ так, что:

${\vec {F}}^{\prime }$ = $m{\vec {a}}_{r^{\prime }}$ (15)

тогда из (14) получаем:

${\vec {F}}_{r}$ — ${\vec {F}}_{R}$ = ${\vec {F}}^{\prime }$ (16)

Именно эта сила вызывает движение тела в неинерциальной системе координат.

Полученный результат в разнице между «абсолютной» и «относительной» силами объясняется тем, что в неинерциальной системе кроме силы ${\vec {F}}_{r}$ на тело дополнительно подействовала некая сила ${\vec {F}}_{i_{2}}$ таким образом, что:

${\vec {F}}_{r}+{\vec {F}}_{i_{2}}$ = ${\vec {F}}^{\prime }$ (17)

Эта сила представляет собой силу инерции применительно к движению тел в неинерциальных СО. Она никак не связана с действием реальных сил на тело.

Тогда из (16 и (17) получаем:

${\vec {F}}_{i_{2}}$ = — ${\vec {F}}_{R}$(18)

Т.е сила инерции, в неинерциальной СО равна по величине и направлена в противоположном направлении силе, вызывающей ускоренное движение этой системы. Она приложена к ускоряемому телу.

Сила эта не является по своему происхождению результатом действия окружающих тел и полей, и возникает исключительно за счёт ускоренного движения второй системы относительно первой. Она не более фиктивна чем силы, являющиеся результатом разложения реальной силы на две составляющие при использовании правила параллелограмма.

Все входящие в выражение (17) величины могут быть независимым друг от друга образом измерены и поэтому поставленный здесь знак равенства означает не что иное, как признание возможности распространения ньютоновской аксиоматики при учёте «фиктивных» сил инерции и на движение в неинерциальных системах отсчёта и потому требует экспериментального подтверждения. В рамках классической физики это действительно и подтверждается.

Пример 2 Пусть вторая СО движется с постоянной скоростью или просто неподвижна в инерциальной СО.Тогда ${\vec {a}}_{R}$= 0 и сила инерции (в её втором смысле)отсутствует. Движущееся тело испытывает ускорение, вызываемое действующими на него реальными силами.

Пример 3 Пусть вторая СО движется с ускорением ${\vec {a}}_{R}$ = ${\vec {a}}_{r}$ то есть эта СО фактически совмещена с движущимся телом. Тогда в этой, неинерциальной, СО тело неподвижно вследствие того, что действующая на него сила полностью скомпенсирована силой инерции (в её втором смысле): ${\vec {F}}_{i_{2}}$ = — ${\vec {F}}_{r}$

Пример 4 Пассажир едет в авто с постоянной скоростью. Пассажир — тело, авто — его система отсчёта (пока инерциальная), то есть${\vec {F}}_{r}$ =0.Авто начинает тормозить и превращается для пассажира во вторую рассмотренную выше неинерциальную систему, к которой навстречу её движения приложена сила торможения ${\vec {F}}_{R}$. Тут же возникает сила инерции, приложенная к пассажиру, направленная в противоположном направлении (то есть по движению): ${\vec {F}}_{i_{2}}$.Эта сила вызывает непроизвольное движение тела пассажира к ветровому стеклу.

При наличии ремня безопасности приложенная к ремню сила инерции вызывает его деформацию растяжения и, согласно Третьему закону, силу его сопротивления растяжению, приложенную к телу. В случае, если деформация не превысит предела прочности на растяжение ремня, реакция ремня уравновесит силу инерции и всё закончится хорошо.

И ещё раз следует подчеркнуть, что в рассматриваемом аспекте сила инерции может совершить реальную работу по растяжению и, даже, разрыву ремня безопасности, и сомневаться в её реальности нет никаких оснований.

Общий подход к нахождению сил инерции

Сравнивая движение тела в инерциальной и неинерциальной СО можно прийти к следующему выводу :

Пусть ${\vec {F}}_{1}$ есть сумма всех сил, действующих на тело в неподвижной (первой) системе координат, которая вызывает его ускорение ${\vec {a}}_{1}$. Эта сумма находится путём измерения ускорения тела в этой системе, если известна его масса

Аналогично ${\vec {F}}_{2}$ есть сумма сил, измеренная в неинерциальной системе координат, вызывающая ускорение ${\vec {a}}_{2}$, в общем случае отличающееся от ${\vec {a}}_{1}$ вследствие её ускоренного движения.

Тогда сила инерции в неинерциальной системе координат будет определяться разницей:

${\vec {F}}_{i_{2}}$ = ${\vec {F}}_{2}$ — ${\vec {F}}_{1}$ (19)

или:

${\vec {F}}_{i_{2}}$ = m (${\vec {a}}_{2}$ — ${\vec {a}}_{1}$) (20)

В частности, если тело покоится в неинерциальной системе, то есть ${\vec {a}}_{2}$ = 0, то

${\vec {F}}_{i_{2}}$ = — ${\vec {F}}_{1}$ (21) .

Если в выражении (20) считать, что ускорение ${\vec {a}}_{2}$ измерено не в абсолютной, но в другой неинерциальной системе координат, то найденная сила инерции будет представлять собой силу, соответствующую относительному движению двух неинерциальных СО. Если учесть, что все тела во Вселенной взаимодействуют друг с другом в силу всепроникающей гравитации, и потому инерциальных СО в принципе не существует, то именно этот случай является действительно реализуемым на практике.

Движение тела по произвольной траектории в неинерциальной СО

Положение материального тела в условно неподвижной и инерциальной системе задаётся здесь вектором ${\vec {r}}$, а в неинерциальной системе — вектором ${\vec {r}}_{2}$. Расстояние между началами координат определяется вектором ${\vec {R}}$ Угловая скорость вращения системы задаётся вектором ${\vec {\omega }}$, направление которого устанавливается по оси вращения по правилу правого винта. Линейная скорость тела по отношению к вращающейся СО задаётся вектором ${\vec {v}}$.

В данном случае инерционное ускорение в соответствие с (11)будет равно сумме:

${\vec {a}}_{r}$ = ${\frac {d^{2}{\vec {R}}}{dt^{2}}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r^{\prime }}}$ + ${2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}$ - ${\vec {\omega }}\times \left[{\vec {\omega }}\times {\vec {r^{\prime }}}\right]$ (22)

Здесь первый член -переносное ускорение второй системы относительно первой.

Второй член — ускорение, возникающее из-за неравномерности вращения системы вокруг своей оси.

Третий член есть Кориолисово ускорение, вызванное той составляющей вектора скорости, которая не параллельна оси вращения неинерциальной системы.

Последний член представляет собой вектор, направленный в противоположную сторону от вектора ${\vec {r^{\prime }}}$ , что можно получить, раскрывая двойное векторное произведение, когда получаем, что этот член равен ($-{r^{\prime }}\omega ^{2}$)и потому представляет собой центростремительное ускорение тела.Однако последние три члена в (11) представляют собой относительное ускорение, то есть ускорение, испытываемое телом в неинерциальной системе отсчёта. Поэтому в сумме последний член должен представлять ускорение центробежное и потому перед ним стоит знак минус.

Работа фиктивных сил инерции

В классической физике силы инерции встречаются в трёх различных ситуациях в зависимости от системы отсчёта, в которой производится наблюдение . Это сила, приложенная к связи при наблюдении в инерциальной СО или к движущемуся телу при наблюдении в неинерциальной системе. Обе эти силы реальны и могут совершать работу. Так, примером работы, совершаемой Кориолисовой силой в планетарном масштабе является закон Бэра

При решении задач на бумаге, когда искусственно сводят динамическую задачу движения к задаче статики, вводят третий вид сил называемый силами Даламбера, работы не совершающих, поскольку работа и неподвижность тел, несмотря на действие на него сил в физике есть понятия несовместимые.

С точки зрения общей теории относительности, гравитационные силы в любой точке — это силы инерции в данной точке искривлённого пространства Эйнштейна (см. принцип эквивалентности). Различие между этими силами и силами инерции классической механики заключается в невозможности их устранения в конечной области пространства-времени переходом к любой системе отсчёта. В этом смысле глобальные или даже конечные инерциальные системы отсчёта в общей теории относительности в общем случае отсутствуют.