Модель Солоу

Модель Солоу (модель Солоу—Свана) — неоклассическая модель экономического роста Роберта Солоу, основанная на производственной функции Кобба — Дугласа с учётом экзогенного нейтрального технического прогресса как фактора экономического роста наравне с такими факторами производства как труд и капитал.

История создания

Модель Харрода — Домара критиковалась в части использования производственной функции Леонтьева, нестабильности динамического равновесия модели и отсутствия взаимозаменяемости ресурсов. В феврале 1956 года выходит статья Р.Солоу «Вклад в теорию роста» , а в ноябре 1956 года статья Тревора Суона «Экономический рост и накопление капитала» . Статья Р.Солоу «Технические изменения и агрегированная производственная функция» в 1957 году окончательно сформировали основу для макроэкономической модели, учитывающей вклад технологического параметра в экономический рост, которая известна в экономической теории как модель Солоу.

Модель Солоу

Допущения

Модель имеет ряд упрощений:

• имеется только один товар — $Y$,
• нет государственных расходов и налогов
• нет изменений безработицы
• производство определяется агрегированной функцией только трех факторов производств: $K$ — капитал, $L$ — труд, $A$ — знания, эффективность труда одного работника, зависящая от квалификации, образования и здоровья работника
• нормы сбережения и амортизации фиксированы, задаются экзогенно — $s$ и $\delta$
• темп роста численности и технического прогресса постоянен, задаются экзогенно — $n$ и $g$.

В модели Солоу рассматривается неоклассическая производственная функция :

$Y=F(K,L,A)$.

Переменная $A$ отражает трудосберегающий технический прогресс и рассматривается всегда вместе с объёмом трудовых ресурсов $L$, а именно рассматривается комплексный фактор $LA$ — количество работников с постоянной эффективностью труда. Рост этого фактора может происходить либо за счёт роста количества работников с фиксированной эффективностью, либо ростом эффективности с фиксированным количеством работников. Таким образом, в модели Солоу производственная функция имеет вид:

$Y=F(K,LA)$,

причём с учётом свойства линейной однородности (постоянной отдачи от масштаба) её можно записать в удельных переменных (на единицу труда с постоянной эффективностью):

${\frac {Y}{LT}}=f({\frac {K}{LA}})$ или $y=f(k)$,

где $y$ и $k$ — соответственно производительность и капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью.

Примером такой функции является функция Кобба — Дугласа с постоянной отдачей от масштаба:

$~Y=K^{\alpha }\cdot (LA)^{1-\alpha }=LA\cdot (K/LA)^{\alpha }$, где $0<{\alpha }<1$.

или $y=k^{\alpha }$.

Сущность модели

Доход расходуется на потребление и инвестиции, соответственно тождество дохода $Y=C+I$, или в удельном выражении на единицу труда с постоянной эффективностью — $y=c+i$. Инвестиции равны сбережениям $I=S=sY$ или на единицу трудовых ресурсов $i=sy$, где $s$ — норма сбережений. Предполагается постоянный темп износа капитала $\delta$ и соответственно модель динамики капитала имеет вид:

${\dot {K}}=sY-\delta K$

или в удельном представлении:

${\dot {K}}/LA=sy-\delta k$.

С другой стороны, учитывая, что по определению $K=k\cdot L\cdot A$:

${\dot {K}}={\dot {k}}LA+k({\dot {L}}A+L{\dot {A}})=LA({\dot {k}}+k({\dot {L}}/L+{\dot {A}}/A))$.

Следовательно, можно записать окончательно базовое дифференциальное уравнение модели Солоу:

${\dot {k}}=sf(k)-(n+g+\delta )k$,

где $n={\dot {L}}/L$ — темп роста населения (работников); $g={\dot {A}}/A$ — темп технического прогресса.

Таким образом, если инвестиции $sf(k)$ меньше необходимого уровня $(n+g+\delta )k$, учитывающего рост населения и износ капитала и технический прогресс, то капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью падает и наоборот. Равновесный уровень определяется исходя из условия стабильности $k$, то есть ${\dot {k}}=0$. Соответственно условие стационарности следующее (совпадение фактических и необходимых инвестиций):

$sf(k)=(n+g+\delta )k$

В модели Солоу в стационарном состоянии темп роста производительности труда равен темпу технического прогресса, а темп экономического роста — сумме темпа технического прогресса и темпа роста населения.

При росте нормы сбережений инвестиции начинают превышать необходимый уровень и $k$ начинает расти до достижения равновесия при более высоком уровне $k$. В процессе перехода к новому стационарному состоянию темп роста производительности труда будет опережать темп технического прогресса и при достижении нового равновесия они приравняются.

Золотое правило

Модель Солоу позволяет определить оптимальный уровень нормы сбережений, при котором достигается максимальное (удельное) потребление. По определению удельное потребление равно $c=(1-s)y=f(k)-sf(k)$. В стационарном (равновесном) состоянии $sf(k)=(n+g+\delta )k$, поэтому окончательно функция удельного потребления в стационарном состоянии имеет вид:

$c(k)=f(k)-(n+g+\delta )k$

С учётом того, что $k$ зависит от нормы сбережения условие максимума удельного потребления по $s$ примет вид:

$c'_{s}=[f'_{k}-(n+g+\delta )]k'_{s}=0$.

Отсюда:

$f'_{k}=n+g+\delta$.

С другой стороны, в стационарном состоянии — $sf(k)=(n+g+\delta )k$. Учитывая эти два условия оптимума — $sf(k)=f'_{k}k$ или:

$s=f'(k)k/f=\varepsilon _{f/k}=\alpha$,

где $\alpha$ — параметр однородной производственной функции Кобба — Дугласа. То есть норма сбережения должна быть равна показателю эластичности удельного выпуска по капиталовооруженности.

Если экономика находится на уровне ниже уровня «золотого правила», то необходимый для перехода к «золотому правилу» рост нормы сбережений на первоначальном этапе приводит к ещё большему падению потребления, однако в будущем потребление будет гораздо больше. Отношение к такому развитию событий зависит от предпочтений текущего или будущего потребления.

Недостатки модели

Основные недостатки модели связаны с экзогенностью научно-технического прогресса и нормы сбережений. Кроме того, использование функции Кобба — Дугласа также ограничивает модель.