Метрика Леви — Прохорова

В математике, метрика Леви-Прохорова (иногда называется метрика Прохорова) - это метрика (т.е. определение расстояния) набора вероятностных мер в данном метрическом пространстве. Метрика названа в честь французского математика Поля Леви и советского математика Юрия Васильевича Прохорова; Была введена в 1956 году Ю.В.Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви.

Определение

Пусть $(M,d)$ - метрическое пространство, а ${\mathcal {B}}(M)$ - борелевская сигма-алгебра. Пусть ${\mathcal {P}}(M)$ обозначает набор всех вероятностных мер на измеримом пространстве $(M,{\mathcal {B}}(M))$.

Для подмножества $A\subseteq M$, определим эпсилон-окрестность $A$ как

$A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),$

где $B_{\varepsilon }(p)$ - открытый шар радиусом $\varepsilon$ с центром в $p$.

Тогда метрика Леви-Прохорова $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$ как

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}.$

Очевидно, что для вероятностных мер $\pi (\mu ,\nu )\leq 1$.

Свойства

• Если пространство $(M,d)$ является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви-Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом, $\pi$ - это метризация топологии слабой сходимости вероятности на ${\mathcal {P}}(M)$.
• Метрическое пространство $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ является сепарабельным тогда и только тогда когда $(M,d)$ сепарабельно.
• Если пространство $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ является полным, то $(M,d)$ также является полным пространством. Если у всех мер в ${\mathcal {P}}(M)$ есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если $(M,d)$ - полное, то $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ - полное. В частнсоти, это тот случай, когда $(M,d)$ является сепарабельным.
• Если $(M,d)$ сепарабельное и полное, подмножество ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда $\pi$-замыкание является $\pi$-компактным.
• Если $(M,d)$ сепарабельное, то $\pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y):{\text{Law}}(X)=\mu ,{\text{Law}}(Y)=\nu \}$, где $\alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0:\mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leq \varepsilon \}$ - это метрика Ки-Фана.

См. также

• метрика Леви
• теорема Прохорова
• Равномерная плотность
• слабое схождение мер
• Метрика Васерштейна
• Метрика Радона

Литература

• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. — John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
• Zolotarev, V.M. (2001), "Lévy–Prokhorov metric", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Dudley, R.M. Real analysis and probability. — Pacific Grove, Calif. : Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. — ISBN 0-534-10050-3.
• Račev, Svetlozar T. Probability metrics and the stability of stochastic models. — Chichester [u.a.] : Wiley, 1991. — ISBN 0-471-92877-1.