Мера Радона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной.

Определение[править | править код]

Пусть μ есть мера на сигма-алгебре борелевских множеств в хаусдорфовом топологическом пространстве X.

Мера μ называется внутренне регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) совпадает с супремумом μ(K) для компактных подмножеств K в B.

Мера μ называется внешней регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) является инфимумом μ(U) по всем открытым множествам U, содержащим B.

Мера μ называется локально конечной, если каждая точка в X имеет окрестность U, для которой значение μ(U) конечно. (Если μ локально конечна, то μ конечна на компактных множествах.)

Мера μ называется мерой Радона, если она внутренне регулярна и локально конечна.

Замечание[править | править код]

  • Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова «компактный» на «замкнутый и компактный» везде, но это обобщение пока не имеет приложений.

Примеры[править | править код]

Примеры мер Радона:

  • Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная на борелевские подмножества);
  • Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе;
  • Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
  • Гауссовы меры на евклидовом пространстве с его борелевской сигма-алгеброй;
  • Вероятностные меры на σ-алгебре борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, например, меру Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1].

Следующие меры не являются мерами Радона:

  • Считающая мера на евклидовом пространстве не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
  • Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка является компактным топологическим пространством. Мера, которая равна 1 на любом множестве, содержащем несчётное замкнутое множество, и 0 в противном случае, является борелевской, но не является мерой Радона.
  • Пусть X — это множество [0,1), оснащённое топологией стрелки. Мера Лебега на этом топологическом пространстве не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна. Последнее следует из того, что в этой топологии компактные множества не более чем счётны.
  • Стандартная мера произведения на с несчётным  — не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1.

Свойства[править | править код]

Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство, μ — меру Радона на .

  • Мера μ задаёт линейный функционал на пространстве всех финитных функций на X, то есть непрерывных функций с компактным носителем:
Более того:
  • Этот функционал полностью определяет саму меру.
  • Этот функционал непрерывен и положителен. Положительность означает, что , если .

Метрика Радона[править | править код]

Конусу всех мер Радона на можно придать структуру полного метрического пространства. Расстояние между двумя мерами Радона , определяется следующим образом:

где супремум берётся по всем непрерывным функциям

Эта метрика называется метрикой Радона. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью.

Пространство Радоновых вероятностных мер на ,

не является секвециально компактным по отношению к этой метрике, то есть не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится.

Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер:

Обратное неверно в общем случае.

Интегрирование[править | править код]

Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) производится в несколько шагов:

  1. Определяется верхний интеграл μ*(g) полунепрерывных снизу положительных (вещественных) функций g как супремум (возможно, бесконечный) положительных чисел μ(h) для финитных непрерывных функций hg.
  2. Определяется верхний интеграл μ*(f) для произвольной положительной вещественнозначной функции f как инфимум верхних интегралов μ*(g) для полу-непрерывных снизу функций gf.
  3. Определяется векторное пространство F = F(Х;μ) как пространство всех функций f на X, для которых верхний интеграл μ*(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полунорму на F, и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой.
  4. Определяется пространство L1(X,μ) интегрируемых функций как замыкание в F пространства непрерывных финитных функций.
  5. Определяется интеграл для функций из L1(X,μ) через расширение по непрерывности (после проверки того, что μ непрерывна относительно топологии L1(X,μ)).
  6. Определяется мера множества как интеграл (когда он существует) функции индикатора множества.

Можно убедиться, что эти действия дают теорию, идентичную той, что начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству в X.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]