Алгебра Темперли — Либа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы[en]. Открыта Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей[en], имеет отношение теории узлов и групп кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент . Алгеброй Темперли — Либа называется -алгебра образованная генераторами , подчиняющимися соотношениям Джонса:

  • при
  • при
  • при
  • при , таких что

можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов выглядят следующим образом:

Basis of the Temperley-Lieb algebra '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель δ. Например,

Factor-a.svg × Factor-b.svg = Factor-a.svgFactor-b.svg = δ Concatenation-ab.svg.

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор  — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами являются:

Generators of the Temperley-Lieb algebra '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U1, U2, U3, U4.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

E 2 Temperley.svg E 2 Temperley.svg = δ E 2 Temperley.svg

E 2 Temperley.svg E 3 Temperley.svg E 2 Temperley.svg = E 2 Temperley.svg

E 1 Temperley.svg E 4 Temperley.svg = E 4 Temperley.svg E 1 Temperley.svg

Ссылки[править | править вики-текст]