Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции [1] — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.
Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов [1], а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.
Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.
Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {1+E}}\left(\varphi -{\frac {E\sin 2\varphi }{4}}+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59b3bcd72977294f3f83854f9dcacf55dff1ce0)
Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:
![{\displaystyle E={\frac {k^{2}}{2-k^{2}}};~~~N={\frac {h}{2+h}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4901320af0ed0d3676aac8bf62db4e91a60500ad)
— расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k2=0,006693 и h=0,006674).
— максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов ![{\displaystyle \Delta ~\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}<{\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf2924abf9329a6397b77e062e29671e7820b33)
— число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить
неуказанных членов в её формулу разложения.
Определённый интеграл 2-го рода представи́м в виде:
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\ d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {1+E}}}\left(\varphi +{\frac {E\sin 2\varphi }{4}}+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f44154c8043eac5c260bc9999e920780d9f7d8a)
Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1-k^{2}\cos ^{2}\varphi }}\ d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {1+E}}}\left(\varphi -{\frac {E\sin 2\varphi }{4}}+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4117e4d1bd89208ff69a21c28938d60bc9205fc)
Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {d\varphi }{(1+h\cdot \sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4764270a0a22df6f8966bb47eefb70addc1fb61)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {1+E}}{2+h}}\cdot \left({\frac {2+h}{\sqrt {1+h}}}\operatorname {arctg} \left({\sqrt {1+h}}\cdot \operatorname {tg} \varphi \right)\left(1-{\frac {E}{2N}}+...\right)+\varphi \cdot \left({\frac {E}{N}}+...\right)+...\right){\Bigl |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e0ecb78cfdd7fd3ceecb1a10bb9ef12409f8f2)
![{\displaystyle (\varepsilon \approx 4{,}2\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(3)\approx 330).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6276cf3bcc91990252b032f7b00f5731966cca46)
Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида[2] требуется вычисление определённого интеграла вида:
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {d\varphi }{(1+h\cdot \cos ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac089f0755abae6e55a61b734e8c7cfc24f7ce8)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {1+E}}{2+h}}\cdot \left({\frac {2+h}{\sqrt {1+h}}}{\text{arctg}}\left({\frac {{\text{tg}}\ \varphi }{\sqrt {1+h}}}\right)\left(1+{\frac {E}{2N}}+...\right)-\varphi \left({\frac {E}{N}}+...\right)+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264c8262b67d590428e78a3ff63099b83df6b0f4)
![{\displaystyle (\varepsilon \approx 4{,}2\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(3)\approx 330).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6276cf3bcc91990252b032f7b00f5731966cca46)
- ↑ 1 2 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964.
- ↑ Мацевич М. И. Навигационные расчёты геодезических маршрутов. — М.: Информационный фонд ФГУП «ВНТИЦ», № 72200700019, 2007.