Геодезическая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Геодезическая линия»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Геодезическая линия на поверхности трёхосевого эллипсоида

Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств.

Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодезические линии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, прямолинейные образующие и окружности, на сфере — дуги больших окружностей.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, например, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени. По сути, временна́я эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Таким образом представима вся теория калибровочных полей.

Дифференциальная геометрия[править | править код]

Многообразия с аффинной связностью[править | править код]

В многообразиях с аффинной связностью геодезическая — это кривая , удовлетворяющая уравнению

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля:

где  — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия[править | править код]

В римановых и псевдоримановых пространствах геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:

здесь  — кривая в пространстве,  — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия.)

Это условие эквивалентно тому, что:

вдоль всей кривой, где обозначает связность Леви-Чивиты.

Метрическая геометрия[править | править код]

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Согласно лемме Гаусса, для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике[править | править код]

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]