Функциональный ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Функциональная последовательность[править | править вики-текст]

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве , включённом в d-мерное евклидово пространство .

Поточечная сходимость[править | править вики-текст]

Функциональная последовательность сходится поточечно к функции , если .

Равномерная сходимость[править | править вики-текст]

Существует функция такая, что:

Факт равномерной сходимости последовательности к функции записывается:

Функциональный ряд[править | править вики-текст]

 — n-ная частичная сумма.

Сходимость[править | править вики-текст]

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости[править | править вики-текст]

при

Или, что эквивалентно , где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости[править | править вики-текст]

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций , определённых на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого , начиная с некоторого номера , при всех , больше либо равных , одновременно для всех значения функций и различались не более, чем на .

Абсолютная и условная сходимость[править | править вики-текст]

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд сходится, а расходится, то ряд называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости[править | править вики-текст]

Признак сравнения[править | править вики-текст]

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

  1. Ряд сходится равномерно.

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле[править | править вики-текст]

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и
  2. Частичные суммы равномерно ограничены.

Признак Абеля[править | править вики-текст]

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .
  2. Ряд равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов[править | править вики-текст]

Теоремы о непрерывности[править | править вики-текст]

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность
функция непрерывна в точке
Тогда непрерывна в .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд
функция непрерывна в точке
Тогда непрерывна в .

Теоремы об интегрировании[править | править вики-текст]

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

функция непрерывна на отрезке
на
Тогда числовая последовательность сходится к конечному пределу .

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке
на
Тогда числовой ряд сходится и равен .

Теоремы о дифференцировании[править | править вики-текст]

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

функция дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке
сходится (к конечному пределу)
на отрезке
Тогда  — дифференцируема на , на

Теорема о почленном дифференцировании.

функция дифференцируема на отрезке
сходится
равномерно сходится на отрезке
Тогда  — дифференцируема на , на

Ссылки[править | править вики-текст]