Функциональный ряд

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\ {u_{k}}(x)$.

Функциональная последовательность

Запрос «Функциональная последовательность»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве $\ E$, включённом в d-мерное евклидово пространство $\ \mathbb {R} ^{d}$.

$\ {u_{k}}(x):E\mapsto \mathbb {C} ,~~E\subseteq \mathbb {R} ^{d},~~k\in \mathbb {N}$

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность $\ {u_{k}}(x)$ сходится поточечно к функции $\ {u}(x)$, если $\forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$.

Равномерная сходимость

Существует функция $\ u(x):E\mapsto \mathbb {C}$ такая, что: $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

Факт равномерной сходимости последовательности $\ {u_{k}}(x)$ к функции $\ u(x)$ записывается: $\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$

Функциональный ряд

$\ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)$ — n-ная частичная сумма.

Сходимость

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность $\ {S_{n}}(x)$ его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность $\ {S_{n}}(x)$ его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости ряда

$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0$ при $\ k\rightarrow \infty$

Или, что эквивалентно $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\,\,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$, где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, определённых на множестве $V$, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого $\varepsilon >0$, начиная с некоторого номера $N=N(\varepsilon )$, при всех $n,m$, больше либо равных $N$, одновременно для всех $x\in V$ значения функций $f_{n}(x)$ и $f_{m}(x)$ различались не более, чем на $\varepsilon$.

$\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)-\ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon$

Абсолютная и условная сходимость

Ряд $\ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)$ называется абсолютно сходящимся, если $\sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid$ сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)$ сходится, а $\sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid$ расходится, то ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)$ называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд $\ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд $\ \sum _{k=1}^{\infty }{v_{k}}(x)$ сходится равномерно.
2. $\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in \mathbb {N}$

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_{k}}(x)$ монотонна $\ \forall x\in E$ и $\ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0$
2. Частичные суммы $\ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)$ равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_{k}}(x)$ равномерно ограничена и монотонна $\ \forall x\in E$.
2. Ряд $\ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)$ равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве $\ E$

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность $\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_{k}}(x)$ непрерывна в точке $\ x_{0}$

Тогда $\ u(x)$ непрерывна в $\ x_{0}$.

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд $\ \sum _{k=0}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_{k}}(x)$ непрерывна в точке $\ x_{0}$

Тогда $\ S(x)$ непрерывна в $\ x_{0}$.

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_{k}}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a,b]$

$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$ на $\ [a,b]$

Тогда числовая последовательность $\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}$ сходится к конечному пределу $\int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}$.

Теорема о почленном интегрировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_{k}}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a,b]$

$\ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)$ на $\ [a,b]$

Тогда числовой ряд $\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx$ сходится и равен $\int \limits _{a}^{b}S(x)dx$.

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_{k}}(x)$ дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке $\ [a,b]$

$\ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)$ сходится (к конечному пределу)

$\ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)$ на отрезке $\ [a,b]$

Тогда $\ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)$ — дифференцируема на $\ [a,b]$, $\ u'(x)=\omega (x)$ на $\ [a,b]$

Теорема о почленном дифференцировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_{k}}(x)$ дифференцируема на отрезке $\ [a,b]$

$\ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)$ сходится

$\ \sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)$ равномерно сходится на отрезке $\ [a,b]$

Тогда $\ \exists S(x):~\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)$ — дифференцируема на отрезке $\ [a,b]$, $\ S'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)$ на $\ [a,b]$

Ссылки

• О.В.Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2004. — 325 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды