Эллиптический интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных чисел или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

,

где  — рациональная функция двух аргументов, и  — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени и не имеющего кратных корней,  — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда имеет кратные корни или когда многочлены в не содержит нечетных степеней .

Однако, для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

История[править | править вики-текст]

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения[править | править вики-текст]

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

  •  — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой );
  •  — модуль эллиптического интеграла;
  •  — параметр;

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

  • , где  — эллиптическая функция Якоби;
  •  — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что зависит также и от . Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:

и

Последее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

.

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительнй модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

  •  — дополнительный параметр;
  •  — дополнительный модуль;
  •  — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)[править | править вики-текст]

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода определяется как

,

или, в форме Якоби,

.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

.

Частные случаи[править | править вики-текст]

;
;
;
;


Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)[править | править вики-текст]

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

или, используя подстановку ,

Частные случаи[править | править вики-текст]

;
;
;
;


Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)[править | править вики-текст]

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода определяется как

или

Число называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла стремится к бесконечности для любых .

Гиперболический случай[править | править вики-текст]

(0 < c < m)[править | править вики-текст]

Введем дополнительные обозначения:

;
;
;
;
;
полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции:

,

где

и

(c > 1)[править | править вики-текст]

С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как .

Введем дополнительно величину

.

Тогда:

Круговой случай[править | править вики-текст]

(m < c < 1)[править | править вики-текст]

Введем дополнительные обозначения:

;
;
;
;

Тогда эллиптический интеграл равен:

,

где

и

(c < 0)[править | править вики-текст]

С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как .

Введем дополнительно величину

.

Тогда:

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода[править | править вики-текст]

Эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.png

В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

или

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

,

что эквивалентно выражению

,

где обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи[править | править вики-текст]


Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода[править | править вики-текст]

Эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода.png

В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

или

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

что эквивалентно выражению

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи[править | править вики-текст]


Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода[править | править вики-текст]

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и второго рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

или

Гиперболический случай[править | править вики-текст]

(0 < c < m)[править | править вики-текст]

,

где  — дзета-функция Якоби

(c > 1)[править | править вики-текст]

,

Круговой случай[править | править вики-текст]

(m < c < 1)[править | править вики-текст]

,

где  — лямбда-функция Хеймана

(c < 0)[править | править вики-текст]

,

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)[править | править вики-текст]

Дзета-функция Якоби[править | править вики-текст]

;

Лямбда-функция Хеймана[править | править вики-текст]

или

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
  • Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
  • Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптический функций. (гл. 3, 7).
  • Эллиптические функции, Процедуры для Matlab