Атом (теория меры)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение[править | править вики-текст]

Если есть измеримое пространство и мера на этом пространстве, то множество из называется атомом, если

и для любого измеримого подмножества множества из

следует, что

Примеры[править | править вики-текст]

Безатомные меры[править | править вики-текст]

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества с существует такое измеримое подмножество B множества A, что

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

такую, что

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. [1] [2] Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство и , то существует функция , задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент имеет область определения , что и доказывает утверждение.

См. также[править | править вики-текст]


Ссылки[править | править вики-текст]

  1. W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues. Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
  2. Fryszkowski, Andrzej. Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications). — Springer. — P. 39. — ISBN 1-4020-2498-3.
  • Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis. — Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. — P. 108. — ISBN 0-13-458886-X.
  • Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6.