Сигма-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение[править | править вики-текст]

Семейство подмножеств множества называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. содержит пустое множество.
  2. Если , то и его дополнение .
  3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из принадлежит (достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало поскольку .

Замечания[править | править вики-текст]

  • Для любой системы множеств существует минимальная сигма-алгебра , являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на , то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом:
,
где  — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве , относительно которой случайная величина всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции её можно ввести и наделить таким образом пространство структурой измеримого пространства, так что функция будет измеримой.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества можно построить тривиа́льную σ-алгебру , где  — пустое множество.
  • Для любого множества можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.