Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство ${\mathfrak {S}}$${\mathfrak {S}}$ подмножеств множества $X$$X$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. ${\mathfrak {S}}$${\mathfrak {S}}$ содержит пустое множество.
2. Если $E\in {\mathfrak {S}}$$E\in {\mathfrak {S}}$, то и его дополнение $X\backslash E\in {\mathfrak {S}}$$X\backslash E\in {\mathfrak {S}}$.
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из ${\mathfrak {S}}$${\mathfrak {S}}$ принадлежит ${\mathfrak {S}}$${\mathfrak {S}}$ (достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало ${\mathfrak {S}}$${\mathfrak {S}}$ поскольку $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash (\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\backslash A_{n}))$$\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}A_{n}=X\backslash (\bigcup _{{n=1}}^{{\infty }}(X\backslash A_{n}))$.

Замечания

• Для любой системы множеств ${\mathcal {S}}$$\mathcal{S}$ существует минимальная сигма-алгебра $\sigma ({\mathcal {S}})$$\sigma ({\mathcal {S}})$, являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ${\mathcal {S}}$$\mathcal{S}$) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\sigma ({\mathcal {S}})$$\sigma ({\mathcal {S}})$, то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\xi :\,X\rightarrow \mathbb {R}$$\xi :\,X\rightarrow {\mathbb {R}}$, определяется следующим образом:

$\sigma (\xi )=\left\{\xi ^{-1}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}$$\sigma (\xi )=\left\{\xi ^{{-1}}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R}})\right\}$,

где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве $X$$X$, относительно которой случайная величина $\xi$$\xi$ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве $X$$X$ вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции $\xi$$\xi$ её можно ввести и наделить таким образом пространство $X$$X$ структурой измеримого пространства, так что функция $\xi$$\xi$ будет измеримой.

Связанные определения

• Измеримое пространство — это пара $(X,{\mathcal {F}})$$(X, \mathcal F)$, где $X$$X$ — множество, а ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества $X$$X$ можно построить тривиа́льную σ-алгебру $\left\{X,\varnothing \right\}$$\left\{X,\varnothing \right\}$, где $\varnothing$$\varnothing$ — пустое множество.
• Для любого множества $X$$X$ можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.

Литература

• Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.