Сигма-алгебра
Перейти к навигации
Перейти к поиску
σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
Определение[править | править код]
Семейство подмножеств множества называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
- содержит множество .
- Если , то и его дополнение .
- Объединение или пересечение счётного подсемейства из принадлежит (достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало поскольку .
Замечания[править | править код]
- Для любой системы множеств существует наименьшая сигма-алгебра , являющаяся её надмножеством.
- Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
- σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом:
- ,
- где — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве , относительно которой случайная величина всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции её можно ввести и наделить таким образом пространство структурой измеримого пространства, так что функция будет измеримой.
Связанные определения[править | править код]
- Измеримое пространство — это пара , где — множество, а — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.
Примеры[править | править код]
- Борелевская сигма-алгебра
- Для любого множества существует тривиа́льная σ-алгебра , где — пустое множество.
- Для любого множества существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. |