Булеан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества , обозначается или (так как оно соответствует множеству отображений из в ).

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.

В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:

  • ковариантный функтор отображает функцию в функцию такую, что она отображает в образ относительно ;
  • контравариантный функтор отображает функцию в такую, что она отображает в полный прообраз относительно .

Мощность конечного булеана[править | править вики-текст]

Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов, равно . Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества () только одно подмножество — оно само, и . На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности и рассматривается произвольное множество с кардинальным числом ; зафиксировав некоторый элемент , подмножества множества разделяются на два семейства:

  1. , содержащие ,
  2. , не содержащие , то есть являющиеся подмножествами множества .

Подмножеств второго типа по предположению индукции , подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа типа добавлением элемента и, следовательно:

и .

По индукционному предположению и , то есть:

.

См. также[править | править вики-текст]