Аффинная эквивалентность

Два множества $A,B\in \mathbb {R} ^{n}$ называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, переводящее $A$ в $B$, т.е. $f(A)=B$.

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ множества $\mathbb {R} ^{n}$ и, в частности, на любом подмножестве $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$.

Например, если $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

•    $x^{2}+y^{2}\,=1$  — вещественная единичная окружность;
•    $x^{2}-y^{2}\,=1$  — равнобочная гипербола;
•    $y=x^{2}$  — стандартная парабола;
•    $x^{2}+y^{2}\,=-1$  — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Изометрическая эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик