Изометрическая эквивалентность

Два множества $A,B\in \mathbb {R} ^{n}$ называются изометрически эквивалентными, если существует движение $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, переводящее $A$ в $B$. то есть$f(A)=B$.

Изометрическая эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ множества $\mathbb {R} ^{n}$ и, в частности, на любом подмножестве $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$.

Например, если $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то изометрическая эквивалентность разбивает его на четыре семейства классов эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные семейства коник:

•    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=1$  — двупараметрическое семейство вещественных эллипсов, $0<b\leq a$;
•    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=1$  — двупараметрическое семействогипербол, $0<b\leq a$;
•    $y^{2}=2px$  — однопараматрическое семейство парабол, $0<p$;
•    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=-1$  — двупараметрическое семейство мнимых эллипсов, $0<b\leq a$.

Другими словами, изометрическая эквивалентность доставляет изометрическую классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости изометрически эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Аффинная эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик