Бета-остов

Основанный на окружностях 1.1-остов (жирные тёмные рёбра) и 0.9-остов (светлые пунктирные синие рёбра) множества случайных 100 точек в квадрате.

${\boldsymbol {\beta }}$-остов, бета-остов или бета-скелет — это ориентированный граф, определённый на множестве точек на евклидовой плоскости. Две точки p and q связаны ребром, когда все углы prq меньше некоторого порога, определённого параметром $\beta$.

Определение на основе окружностей

Пустые пространства $R_{pq}$, определяющие основанный на окружностях $\beta$-остов. Слева: $\beta <1$. Центр: $\beta =1$. Справа: $\beta >1$.

Пусть $\beta$ будет положительным вещественным числом, вычислим угол $\theta$ по формулам

$\theta ={\begin{cases}\sin ^{-1}{\frac {1}{\beta }},&&\beta \geqslant 1\\\pi -\sin ^{-1}{\beta },&&\beta \leqslant 1\end{cases}}$

Для любых двух точек p и q на плоскости пусть R_pq будет множеством точек, для которых угол prq больше $\theta$. Тогда R_pq принимает вид объединения двух открытых дисков с диаметром $\beta {d}(p,q)$ для $\beta \geqslant 1$ и $\theta \leqslant \pi /2$ и принимает форму пересечения двух открытых дисков диаметра $d(p,q)/\beta$ для $\beta \leqslant 1$ и $\theta \geqslant \pi /2$. Когда $\beta =1$ две формулы дают то же самое значение, $\theta =\pi /2$ и R_pq принимает форму одного открытого диска с pq в качестве диаметра.

$\beta$-остов дискретного множества S точек плоскости — это неориентированный граф, который соединяет две точки p и q ребром pq, когда R_pq не содержит точек S. То есть $\beta$-остов является графом пустых пространств, определённых областями R_pq. Если S содержит точку r, для которой угол prq больше $\theta$, то pq не является ребром $\beta$-остова. $\beta$-остов состоит из тех пар pq, для которых такая точка r существует.

Определение на основе линз

Некоторые авторы используют альтернативное определение, в котором пустые области R_pq для $\beta >1$ являются не объединением двух дисков, а линзой, пересечением двух дисков с диаметрами $\beta {d}(pq)$, таких, что отрезок pq лежит на радиусах обоих дисков, так что обе точки p и q лежат на границе пересечения. Как и в случае основанного на окружностях $\beta$-остова, основанный на линзах $\beta$-остов имеет ребро pq, когда область R_pq пуста от других точек. Для этого альтернативного определения, граф относительных окрестностей является специальным случаем $\beta$-остова с $\beta =2$. Два определения совпадает для $\beta \leqslant 1$, а для бо́льших значений $\beta$ основанный на окружностях остов является подграфом основанного на линзах остова.

Одна важная разница между основанных на окружностях и основанных на линзах $\beta$-остовов заключается в том, что для любого множества точек, которые не лежат на одной прямой, всегда существует достаточно большое значение $\beta$, такое, что основанный на окружностях $\beta$-остов является пустым графом. Для контраста, если пара точек p и q имеет свойство, что для любой точки r один из двух углов pqr и qpr тупой, то основанный на линзах $\beta$-остов будет содержать ребро pq независимо от того, насколько велико значение $\beta$.

История

$\beta$-остова первым определили Киркпатрик и Радке как масштабно инвариантный вариант альфа-формы Эдельсбруннера, Киркпатрика и Зайделя. Название $\beta$-остов отражает факт, что в некотором смысле $\beta$-остов описывает форму множества точек таким же образом, как топологический скелет описывает форму двумерной области. Рассматривались также обобщения $\beta$-остова графов, определёнными другими пустыми областями .

Свойства

Если $\beta$ меняется непрерывно от 0 до $\infty$, основанные на окружности $\beta$-остова образуют последовательность графов от полного графа до пустого графа. Специальный случай $\beta =1$ ведёт к графу Габриэля, который, как известно, содержат евклидово минимальное остовное дерево. Поэтому $\beta$-остов также содержит граф Габриэля и минимальное остовное дерево, если $\beta \leqslant 1$.

Для любой постоянной $\beta$ построение фрактала, который напоминает сглаженную версию снежинки Коха, может быть использовано для определения последовательности точечных множеств, $\beta$-остова которых являются путями произвольно большой длины в единичном квадрате. Поэтому, в отличие от тесно связанной триангуляции Делоне, $\beta$-остова имеют неограниченный коэффициент растяжения и не являются геометрическими остовами.

Алгоритмы

Простой естественный алгоритм, который проверяет каждую тройку p, q и r на принадлежность точки r области R_pq, может построить $\beta$-остов любого множества с n точками за время O(n³).

Когда $\beta \geqslant 1$, $\beta$-остов (в любом определении) является подграфом графа Габриэля, который является подграфом триангуляции Делоне. Если pq является ребром триангуляции Делоне, но не является ребром $\beta$-остова, то точка r, которая образует больший угол prq, может быть найдена как одна из двух точек, образующих треугольник с точками p и q в триангуляции Делоне. Поэтому для этих значений $\beta$ основанный на окружностях $\beta$-остов для множества n точек может быть построен за время O(n log n) путём вычисления триангуляции Делоне и используя этот тест как фильтр для рёбер.

Для $\beta <1$ другой алгоритм Уртадо, Лиотты и Meijer позволяет построить $\beta$-остов за время O(n²). Никакой лучшей границы для времени в худшем случае не существует, поскольку для любого фиксированного значения $\beta$, меньшего единицы, существуют множества точек в общем положении (небольшие возмущения правильного многоугольника), для которых $\beta$-остов является плотным графом с квадратным числом рёбер. В тех же квадратичных временных границах можно вычислить весь $\beta$-спектр (последовательность основанных на окружностях $\beta$-остовов, получающихся изменением $\beta$).

Приложения

Основанный на окружностях $\beta$-остов может быть использован в анализе изображений при восстановлении формы двухмерного объекта, если дано множество точек на границе объекта (вычислительный аналог головоломки «Соединить точки», где последовательность, в которой точки нужно связать, не заданы заранее как часть головоломки, а их алгоритм должен вычислить). Хотя, в общем случае, это требует выбора значения параметра $\beta$, можно доказать, что выбор $\beta =1{,}7$ будет правильно восстанавливать всю границу любой гладкой поверхности и не будет создавать любое ребро, которое не принадлежит границе, так как точки генерируются достаточно плотно относительно локальной кривизны поверхности. Однако в экспериментальных тестах меньшее значение $\beta =1{,}2$ было более эффективно для восстановления карты улиц по множеству точек, отображающих центральные линии улиц в геоинформационной системе. Как обобщение техники $\beta$-остова для восстановления поверхностей в трёхмерном пространстве, см. Hiyoshi (2007).

Основанные на окружностях $\beta$-остова использовались для поиска графов минимальной взвешенной триангуляции множества точек — для достаточно больших значений $\beta$ любое ребро $\beta$-остова гарантированно принадлежит минимальной взвешенной триангуляции. Если рёбра, найденные таким образом, образуют связный граф на всех точках, то оставшиеся рёбра минимальной взвешенной триангуляции могут быть найдены за полиномиальное время с помощью динамического программирования. Однако, в общем случае, задача минимальной взвешенной триангуляции является NP-трудной задачей и подмножество рёбер, найденных таким образом, может не быть связным.

$\beta$-остова были также применены в машинном обучении для задач геометрической классификации и в беспроводных ad-hoc-сетях в качестве механизма контроля сложности сети путём выбора подмножества пар беспроводных станций, которые могут общаться друг с другом.