Изолированная точка множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство , и подмножество . Точка называется изолированной точкой множества , если существует окрестность такая, что

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Произвольная функция , где — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке .

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

  • Если , то точка является изолированной, а все остальные нет.
  • Если то не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
  • Множество натуральных чисел дискретно.
  • Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
  • Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. также[править | править вики-текст]