Правильный многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип

Правильный многоугольник

Рёбра

8

Символ Шлефли

{8}, t{4}

Диаграмма Коксетера-Дынкина

CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png

Вид симметрии

Диэдрическая группа (D5)

Площадь


Внутренний угол (градусы)

135°

Свойства

выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный[en]

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Свойства[править | править вики-текст]

Координаты[править | править вики-текст]

Пусть и  — координаты центра, а  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности,  — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n — угольника определяются формулами:

где

Размеры[править | править вики-текст]

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

,

а длина стороны многоугольника равна

Площадь[править | править вики-текст]

Площадь правильного многоугольника с числом сторон и длиной стороны составляет:

.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон , вписанного в окружность радиуса , составляет:

.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон , описанного вокруг окружности радиуса , составляет:

(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон равна

,

где  — расстояние от середины стороны до центра,  — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр () и радиус вписанной окружности () составляет:

.

Периметр[править | править вики-текст]

Если нужно вычислить длину стороны(an) правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности(L) или ее радиус (R), можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

 — длина стороны правильного n-угольника.

или

Периметр равен

где кол-во сторон многоугольника.

Применение[править | править вики-текст]

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.[1]

История[править | править вики-текст]

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m — 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с сторонами, где m — целое неотрицательное число,  — числа 3 и 5, а принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно , где  — целое неотрицательное число, принимают значения 0 или 1, а  — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.