Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.
В 2013 году на СО статьи долго обсуждалось её печальное состояние и возможные пути доработки, но затем дело заглохло. Теперь я решил ликвидировать старый долг, существенно переработал и дополнил эту важнейшую статью с учётом сделанных на СО замечаний. Несколько недостающих сносок скоро добавлю. Жду новых замечаний. LGB (обс.) 12:58, 13 января 2018 (UTC)`[ответить]
Не уверен нужна ли, но, всё же, отсутсвует ссылка на "зарубежные источники, в которых встречаются готические символы обозначений вещественной и мнимой частей". Trevanpwrd (обс.) 03:06, 16 января 2018 (UTC +3)`
Вообще-то само существование готических Tex-символов \Re, \Im достаточно убеждает, но для порядка вставил две сноски на уважаемый сайт mathworld.wolfram.com. LGB (обс.) 11:29, 16 января 2018 (UTC)[ответить]
По-моему, не обязательно. Это ж только иллюстрация. К тому же большинство читающих эту статью имеют представление о комплексных числах. Впрочем это дело вкуса. — Алексей Копылов03:45, 17 января 2018 (UTC)[ответить]
Ну, если у читателя уже есть представление, то ему картинка и не нужна. А если нет, то она может создать неправильное представление о сущности комплексных чисел (я когда-то спорил на эту тему на СО в 2013-м). Исторически и логически комплексные числа — это алгебраическое понятие, геометрическая модель возникла только в XIX веке. Поэтому начало статьи не выходит за пределы алгебры. Обсуждаемая картинка может навести на мысль, что «комплексное число — это точка» (или вектор), что по существу неверно. Возможно, я преувеличиваю важность этого момента (существуют даже учебники, которые определяют комплексное число как точку или пару чисел), но методически и эстетически считаю правильным начать с чистой алгебры. LGB (обс.) 10:54, 17 января 2018 (UTC)[ответить]
Кстати, французы используют картинку с множеством Мандельброта. При этом в тексте у них про Мандельброта ничего нет. Может нам тоже использовать эту картинку в разделе комплексной плоскости или даже в преамбуле? Для раскрытия темы это не важно, но просто для красоты. — Алексей Копылов03:56, 17 января 2018 (UTC)[ответить]
В предыдущем разделе сказано, что «при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются». Но привести формулу тоже не вредно, вставил. LGB (обс.) 12:13, 16 января 2018 (UTC)[ответить]
Вообще-то считали, см. История математики, том 1, стр. 304. Но эта информация не имеет прямого отношения к теме статьи, так что я её укоротил. LGB (обс.) 12:13, 16 января 2018 (UTC)[ответить]
В разделе История упоминаются некоторые тематические понятия, например, геометрическое представление комплексных чисел и формула Муавра. Поэтому естественно поместить Историю после разделов, где введены эти понятия. А тогда другого выбора нет. Кстати, в английском и немецком разделе История вообще в самом конце. А вы где конкретно предлагаете поместить этот раздел? LGB (обс.) 10:51, 26 января 2018 (UTC)[ответить]
Я бы с него начал. А на термины, для которых есть отдельные статьи, у нас вроде как принято ссылки делать. Для внутренних можно тоже ссылку на раздел сделать, если что-то совсем неочевидное. Но я не настаиваю. - DZ - 11:09, 26 января 2018 (UTC)[ответить]
В середине между чисто математическими разделами этот раздел действительно теряется. Я бы перенес его либо в начало (не страшно, что некоторые определения идут после, для общего понимания это не важно). Либо наоборот в самый конец (возможно перед "Вариации и обобщения"). — Алексей Копылов10:39, 27 января 2018 (UTC)[ответить]
Не нравится содержание преамбулы. Там должно быть краткое содержание статьи. Возможно добавить ссылки на внутренние разделы. " два комплексных числа нельзя сравнивать на больше/меньше." не понять о чём речь, потому что сравнивать числа можно и по амплитуде и по фазе, ну в электротехнике не гнушаются. Неравенство треугольника -- такое сравнение по модулю, например. Если комплексные числа нащли применение в картографии, то наверное надо написать в чём именно или не упоминать в преамбуле -- тема не раскрыта этого самого применения. В преамбуле не отражены большие разделы как например аксиоматика, геометрия тригонометрия. Я бы сдвинул раздел истории в самое начало, так как она явно интереснее написана чем арифметика. Alexander Mayorov (обс.) 13:21, 28 января 2018 (UTC)[ответить]
Я добавил сносок про картографию в раздел о практическом применении. Там пояснено, что причиной использования комплексной модели в картографии является гибкость настройки преобразования комплексной плоскости на желаемый тип построения карты. Теперь объясню, почему так выбрано расположение раздела История. Я всюду стараюсь разместить материал по возрастанию сложности, чтобы читатель при последовательном чтении не упустил ничего доступного для его текущего уровня. Если поместить Историю ниже, где материал для продвинутого читателя, начинающие до неё просто не доберутся, хотя она вполне доступна по уровню. Если, наоборот, сдвинуть выше, то у тех читателей, которые заинтересованы получить первичное ознакомление с предметом, нарушится логический порядок материала, и они могут прекратить чтение преждевременно. LGB (обс.) 11:50, 29 января 2018 (UTC)[ответить]
За последний день статья сильно улучшилась, но у меня появились новые замечания:
Не знаю, чесно говоря, кто придумал аксиоматику в таком виде. Но она отличается от этой. Я хотел бы видеть фразу в этом виде, но если действительно это неизвестно, то лучше что-нибудь другое написать. Alexander Mayorov (обс.) 11:14, 29 января 2018 (UTC)[ответить]
Упоминается, но не в той части, на которую ведет ссылка. Теорема Фробениуса - это не построение аксиоматики, и Гамильтон (судя по тексту) строил не аксиоматику, а модель. Вместо этого лучше объединить эту фразу со следующей и сказать, что Гамильтон, Фробениус и Кэли рассмотрели прочие возможные расширения действительных чисел. Но у меня нет под рукой АИ, чтобы проверить, что это не ОРИСС. — Алексей Копылов02:38, 30 января 2018 (UTC)[ответить]
Я покопался в своей библиотеке, но внятной информации, кто первый предложил аксиоматику комплексных чисел, не нашёл. Поэтому переделал спорную фразу: «Непротиворечивость системы комплексных чисел была доказана построением их строгой аксиоматики». О расширениях C рассказано в отдельном разделе, о теореме Фробениуса также сказано, а в преамбуле, по-моему, достаточно краткого упоминания. LGB (обс.) 10:45, 30 января 2018 (UTC)[ответить]
Это неверно: непротиворечивость доказывается построением модели, а не аксиоматики. Аксиоматика комплексных чисел не такая уж важная вещь, можно про нее в преамбуле не говорить. См. также мои новые замечания по разделу "Логические основания" ниже.
Всякая модель опирается на (не всегда явную) аксиоматику свойств, иначе как проверить её адекватность? И мне не хотелось в самом начале упоминать такие неочевидные термины, как модели. Решил перенести фразу в укороченном виде повыше. LGB (обс.) 11:02, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
Раз теперь про геометрическую интерпретацию есть в преамбуле (что на мой взгляд правильно), предлагаю все-таки поставить в преамбулу картинку с комплексной плоскостью. — Алексей Копылов09:16, 29 января 2018 (UTC)[ответить]
"Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше." что за разделить?
Это обычный символ «или», неужели он вам никогда не попадался в текстах? См., например, тут. Иногда вместо черты ставят дефис: больше-меньше. Никто до вас не удивлялся этой конструкции. LGB (обс.) 10:45, 30 января 2018 (UTC)[ответить]
Это не на русском языке или. Я пересисал во введении вашу формулировку. "Нельзя указать какое из чисел больше или меньше." "/" - это либо математический символ что означает разделить либо его не должно быть в символах пунктуации. Alexander Mayorov (обс.) 04:48, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
"любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет столько корней какова его степень" Сколько корней у многочлена x^2? корень один, так как одно число соответствует корню.
Кстати, (на мой вкус) ссылки на раздел в той же статье лучше оформлять при помощи шаблонов {{переход}}, чтобы читатель сразу понял, что он перейдет не в другую статью, а в раздел той же самой. Если вам не нравятся стрелочки, то можно написать словами (см. [[#Комплексные функции|ниже]]) → (см. ниже).
В самом деле до конца XIX века (см. пример Куммера в статье Наибольший общий делитель), но источник сходу не нашёл, сформулировал пока нейтрально: «долгое время». О многозначных функциях тут говорить сложно, тогда придётся затрагивать такие непростые темы, как риманова поверхность, объём раздела непропорционально возрастёт. По-моему, ссылки на Комплексный анализ достаточно. LGB (обс.) 11:48, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
Есть только один способ правильно использовать корни — не использовать отрицательные числа под знаком радикала. Вы не учли, что знак радикала обычно обозначает арифметический корень. Можете привес ти ссылку на АИ для приведенной вами методики? LGB (обс.) 11:48, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
sin — это как раз идентификатор функции, а sin(z) — её значение. Часто это отличие подчёркивают записью вроде sin: R -> R. Идентификатор функции как таковой не требует идентификатора аргумента. LGB (обс.) 10:45, 30 января 2018 (UTC)[ответить]
"Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для комплексных чисел" - это необязательно. Достаточно построить модель: если мы определим комплексное число, как пару действительных чисел, никаких аксиом нам не нужно, чтобы доказать непротиворечивость или выяснить свойства. Аксиомы нужны, если хочется, например, доказать, что такая модель единственная, или хочется рассуждать о комплексных числах абстрактно без конкретной модели. — Алексей Копылов03:19, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
Матричная модель и модель фактор-кольца многочленов нужны не для того, чтобы доказать непротиворечивость (для этого достаточно стандартной модели), а они интересны сами по себе. Матричная модель показывает, что комплексные числа можно рассматривать как подмножество матриц 2x2, а модель фактор-кольца полезна при рассмотрении других расширений R. Об этом стоит сказать. — Алексей Копылов03:19, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
Раздел как раз и показывает, что комплексные числа можно рассматривать как подмножество матриц 2x2, модель есть модель. Согласен, что это интересно и само по себе. Если вы укажете, где в науке этот факт приносит пользу, то можно и добавить. Прошу сообщить, в каких АИ используется модель фактор-кольца, тоже неплохо бы кратко дополнить. LGB (обс.) 15:22, 31 января 2018 (UTC)[ответить]
Какой именно? «Логические основания»? Тогда уж «Аксиоматика, модели и непротиворечивость», так как последняя и является главной целью раздела. А мне кажется, текущее название ничем не хуже. LGB (обс.) 15:22, 31 января 2018 (UTC)[ответить]