Многозначная функция

Функция от элемента «3» принимает два значения

Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента.

Определение

Функция $F$, которая каждому элементу множества $X$ ставит в соответствие некоторое подмножество множества $Y,$ называется многозначной функцией, если хотя бы для одного $x\in X$ значение $F(x)$ содержит более одного элемента $Y.$

Обычные (однозначные) функции можно рассматривать как частный случай многозначных, у которых значение состоит ровно из одного элемента.

Примеры

Простейший пример — двузначная функция квадратного корня из положительного числа, у неё два значения, различающиеся знаком. Например, квадратный корень из 16 имеет два значения — $+4$ и $-4.$

Другой пример — обратные тригонометрические функции (например, арксинус) — поскольку значения прямых тригонометрических функций повторяются с периодом $2\pi$ или $\pi ,$ то значения обратных функций многозначны («бесконечнозначны»), все они имеют вид $\varphi +2k\pi$ или $\varphi +k\pi ,$ где $k$ — произвольное целое число.

Многозначные функции неудобно использовать в формулах, поэтому из их значений нередко выделяют одно, которое называют главным. Для квадратного корня это неотрицательное значение (то есть, арифметический квадратный корень), для арксинуса — значение, попадающее в интервал $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ и т. д.

Первообразную функцию (неопределённый интеграл) также можно рассматривать как бесконечнозначную функцию, поскольку она определена с точностью до константы интегрирования.

В комплексном анализе и алгебре

Характерный пример многозначных функций — некоторые аналитические функции в комплексном анализе. Неоднозначность возникает при аналитическом продолжении по разным путям. Также часто многозначные функции получаются в результате взятия обратных функций.

Например, корень n-ой степени из любого ненулевого комплексного числа принимает ровно $n$ значений. У комплексного логарифма число значений бесконечно, одно из них объявлено главным.

В комплексном анализе понятие многозначной функции тесно связано с понятием римановой поверхности — поверхности в многомерном комплексном пространстве, на которой данная функция становится однозначной.

См. также

• Многозначное отображение

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд.. — М.: Наука, 1972.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.