Вполне упорядоченное множество

Вполне упорядоченное множество (сокр. ВУМ) — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.

Примеры

• Пустое множество является вполне упорядоченным.
• Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
• Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно», которое обозначим $\preccurlyeq$ и определим следующим образом:

$a\preccurlyeq b,$ если либо $a=b,$ либо $|a|<|b|,$ либо $|a|=|b|$ и $a<0<b.$

Тогда порядок целых чисел будет таким: $0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots$ В частности, $-1$ будет наименьшим отрицательным числом.

• Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением $\in$. В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума.

Свойства

• Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора множество вещественных чисел можно вполне упорядочить.
• Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.

См. также

• Трансфинитная индукция

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.