Вполне упорядоченное множество
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Вполне упорядоченное множество (сокр. ВУМ) — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Примеры
[править | править код]- Пустое множество является вполне упорядоченным.
- Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
- Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно»[1], которое обозначим и определим следующим образом:
- если либо либо либо и
- Тогда порядок целых чисел будет таким: В частности, будет наименьшим отрицательным числом.
- Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением . В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума.
Свойства
[править | править код]- Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора множество вещественных чисел можно вполне упорядочить.
- Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
Примечания
[править | править код]- ↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 571 (15b). — 736 с.
В другом языковом разделе есть более полная статья Ensemble bien ordonné (фр.). |
Это заготовка статьи по математической логике. Помогите Википедии, дополнив её. |