Главный идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править исходный текст]

Левый идеал кольца R называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом a. Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения \mathop{\mathrm{lid}}_R a, \mathop{\mathrm{rid}}_R a, \mathop{\mathrm{id}}_R a для левых, правых и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если R — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый a, обозначают через (a).

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

  • \mathop{\mathrm{l\,id}}_R a = Ra=\{ra: r\in R\}.
  • \mathop{\mathrm{r\,id}}_R a = aR=\{ar: r\in R\}.
  • \mathop{\mathrm{id}}_R a = RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\}.

Если же R — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

  • \mathop{\mathrm{l\,id}}_R a = Ra + \mathbb{Z}a = \{ra + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}.
  • \mathop{\mathrm{r\,id}}_R a = aR + \mathbb{Z}a =  \{ar + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}.
  • \mathop{\mathrm{id}}_R a = RaR + aR + Ra + \mathbb{Z}a = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n + ar' + r''a + ma: r', r'', r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R, m \in \mathbb{Z}\}.

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо \mathbb{C}[x,y] многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных x и y. Идеал (x,y), порождённый многочленами x и y, (то есть идеал состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом a\in\mathbb{C}[x,y]; тогда на него должны делиться x и y. Это возможно, только если a — ненулевая константа. Но в (x,y) только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
  • Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры[править | править исходный текст]

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов a и b как порождающий элемент идеала (a,b).

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7