Главный идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править вики-текст]

Левый идеал кольца называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом . Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения , , для левых, правых и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый , обозначают через .

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

  • .
  • .
  • .

Если же — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

  • .
  • .
  • .

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных и . Идеал , порождённый многочленами и , (то есть идеал состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом ; тогда на него должны делиться и . Это возможно, только если — ненулевая константа. Но в только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
  • Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры[править | править вики-текст]

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов и как порождающий элемент идеала .

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.