Обратимый элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Обратимый элемент — элемент кольца с единицей, для которого существует обратный элемент относительно умножения. Другие названия — единица кольца или делитель единицы.

Иначе говоря, элемент называется обратимым, если существует элемент , такой что

,

где  — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов (реже группой единиц). Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Ассоциированные элементы[править | править код]

Если  — обратимый элемент, то элементы, представимые в виде или , называются ассоциированными с .

Обычно термин делитель единицы и понятие ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Группа единиц[править | править код]

Обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение — R×, R* и E(R) (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциированностью, где

r ~ s

означает, что существует единица u, такая, что r = us.

Можно показать, что U — это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм колец f : RS порождает гомоморфизм групп U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является телом тогда и только тогда, когда U(R) = R \ {0}.

Примеры[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.