Евклидово кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Евклидово кольцообщеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Диаграмма включения некоторых классов колец:
коммутативные кольца
целостные кольца
факториальные кольца
области главных идеалов
евклидовы кольца
поля

Определение[править | править вики-текст]

Евклидово кольцо — область целостности , для которой определена евклидова функция (евклидова норма) , такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых имеется представление , для которого или [1].

Дополнительное ограничение[править | править вики-текст]

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: для любых ненулевых и из кольца . Если на задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

.

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для и делится на с остатком: , где и , а так как из определения следует , получается искомое представление с ).

Преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Кольцо целых чисел . Пример евклидовой функции — абсолютная величина .
  • Кольцо целых гауссовых чисел (где мнимая единица, ) с нормой — евклидово.
  • Произвольное поле является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
  • Кольцо многочленов в одной переменной над полем . Пример евклидовой функции — степень deg.
  • Кольцо формальных степенных рядов над полем является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём.
    • Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент.
  • Кольцо функций , голоморфных на связном компакте в (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в , если они совпадают в некоторой окрестности ), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на .
  • Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций , голоморфных в открытом круге , является пересечением евклидовых колец функций , голоморфных на замкнутых кругах , содержащихся внутри , однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
  • Кольцо частных евклидова кольца по мультипликативной системе тоже является евклидовым. Нормой дроби из принимается:
где — евклидова норма в , а — норма в .
Деление с остатком определяется следующим образом: пусть есть две ненулевые дроби и из S−1R. По определению нормы в существует элементы в и в , такие, что и . Произведя деление с остатком в кольце элементов и , так что , получается ; из построения следуют неравенства .

Алгоритм Евклида[править | править вики-текст]

В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента и , причём и . Деление с остатком даёт элемент с . Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент , и так далее. Таким образом генерируется цепочка значений с . Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое натуральное число может строго превосходить лишь конечное количество других натуральных чисел. Это означает, что при некотором остаток равен нулю, а не равен, он и есть наибольший общий делитель элементов и . Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

Свойства евклидовых колец[править | править вики-текст]

  • В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
    • Пусть  — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь , — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: представив произвольный элемент  в виде с получается, что — тоже элемент идеала и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у . Следовательно, идеал содержится в идеале . С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент , содержит идеал , откуда следует, что — главный идеал.
  • Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех колец главных идеалов.
  • Каждое евклидово кольцо целозамкнуто, то есть если дробь , является корнем многочлена со старшим коэффициентом, равным 1, тогда делится на . Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцом[править | править вики-текст]

Пусть — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые -модули обладают следующими свойствами:

  • Всякий подмодуль конечнопорождённого -модуля конечно порождён (следствие нётеровости кольца ).
  • Ранг подмодуля не превосходит ранга модуля (следствие главности идеалов в  — структурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов).
  • Подмодуль свободного -модуля также свободен.
  • Гомоморфизм конечнопорождённых -модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) модуля N, образующие (базис) модуля M, номер и — элементы кольца , такие, что делит и при i > k , а при остальных — . При этом коэффициенты определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца . (В этом свойстве прямо задействована евклидовость кольца .)

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Евклидово кольцо (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Физматлит, 1962. — 400 с.
  • Родосский К. А. Алгоритм Евклида. — М.: Наука, 1988. — 239 с.
  • J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern Computer Algebra. — Cambridge University Press, 1999. — 771 p. — ISBN 0-521-82646-2.