Графовая вероятностная модель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Графовая вероятностная модель — это вероятностная модель, в которой в виде графа представлены зависимости между случайными величинами. Вершины графа соответствуют случайным переменным, а рёбра — непосредственным вероятностным взаимосвязям между случайными величинами. Графические модели широко используются в теории вероятностей, статистике (особенно в Байесовской статистике), а также в машинном обучении.

Виды графовых моделей[править | править код]

Байесовская сеть[править | править код]

Байесовская сеть представляет случай графической модели с ориентированным ациклическим графом, при этом ориентированные рёбра кодируют отношения вероятностной зависимости между переменными.

По байесовской сети легко записывается совместное распределение переменных: если события (случайные величины) обозначаются как

тогда совместное распределение удовлетворяет уравнению

где множество вершин-предков вершины . Другими словами, совместное распределение представляется в виде произведения условных атомарных распределений, которые обычно известны. Любые две вершины, не соединённые ребром, условно независимы, если известно значение их предков. В общем, любые два набора вершин условно независимы при заданных значениях третьего множества вершин, если в графе выполняется условие d-разделимости. Локальная и глобальная независимость эквивалентны в Байесовской сети

Важный частный случай байесовской сети - скрытая марковская модель

Марковские случайные поля[править | править код]

Марковские случайные поля задаются неориентированным графом. В отличие от байесовских сетей, они могут содержать циклы.

С помощью марковских случайных полей, можно удобно представлять изображения, используя сеточную структуру, что позволяет решать, например, задачу фильтрации шума на изображении.

Другие виды графовых моделей[править | править код]

  • фактор-граф — неориентированный двудольный граф, в котором рёбрами соединены факторы и случайные переменные. Каждый фактор представляет вероятностное распределения для всех переменных, которые он связывает. Графы переводят в форму фактор-графа, например, для возможности использования алгоритма распространения доверия.
  • цепной граф — это граф, который может содержать как направленные, так и ненаправленные рёбра, но без ориентированных циклов (то есть если мы начнём движение в какой-то вершине и будем двигаться по графу только по ориентированным рёбрам, то мы не сможем вернуться в ту вершину, из которой мы начали путь). И ориентированные и неориентированные графы являются частным случаем цепных графов, которые могут служить обобщением байесовских и марковских сетей
  • условное случайное поле — дискриминативная модель, заданная на неориентированном графе

Приложения[править | править код]

Графовые модели используются в задачах извлечения информации, распознавания речи, компьютерного зрения, декодирования кодов с малой плотностью проверок на чётность, обнаружения генов и диагностики болезней.

Ссылки[править | править код]

  • Jensen, Finn. An introduction to Bayesian networks. — Berlin : Springer, 1996. — ISBN 0-387-91502-8.
  • Cowell, Robert G. Probabilistic networks and expert systems. — Berlin : Springer, 1999. — ISBN MR: 1697175. A more advanced and statistically oriented book
  • Pearl, Judea. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems. — 2nd revised. — San Mateo, CA : Morgan Kaufmann, 1988. — ISBN MR: 0965765. A computational reasoning approach, where the relationships between graphs and probabilities were formally introduced.
  • Bishop, Christopher M. Chapter 8. Graphical Models // Pattern Recognition and Machine Learning. — Springer, 2006. — P. 359–422. — ISBN MR: 2247587.
  • A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks
  • Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial (недоступная ссылка)
  • Edoardo M. Airoldi (2007). “Getting Started in Probabilistic Graphical Models”. PLoS Computational Biology. 3 (12): e252. DOI:10.1371/journal.pcbi.0030252.