Групповое кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо K[G] — это свободный модуль над кольцом K, базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы G, умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть K — кольцо, а G=\{g_1,...,g_n\} — конечная группа. Тогда групповым кольцом K[G] называется множество выражений вида \alpha=\sum\limits_{k=1}^{n}a_kg_k=a_1g_1+...+a_ng_n, которые складываются и умножаются следующим образом:

Если \alpha=\sum\limits_{k=1}^{n}a_kg_k, \ \beta=\sum\limits_{k=1}^{n}b_kg_k, то

\alpha+\beta=\sum\limits_{k=1}^{n}(a_k+b_k)g_k
\alpha\cdot\beta=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\sum\limits_{g_ig_j=g_k}a_jb_j\right)g_k

Свойства[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
  • Наймарк М. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.