Подкольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Подкольцо кольца  — это пара , где  — кольцо, а  — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

В классическом определении подкольцо кольца рассматривается как подмножество , замкнутое относительно операций и из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.

В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей : морфизмы (гомоморфизмы) в этой категории должны отображать единицу кольца в единицу кольца (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо кольца также обязано содержать единицу: .

Категория устроена гораздо лучше, чем . Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в , если не оговорено обратное.

Примеры
  1. Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в .
  2. В идеал является подкольцом только тогда, когда содержит , поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в собственные идеалы не являются подкольцами.
  3. В подкольцами в являются всевозможные главные идеалы . В не имеет собственных подколец.
  4. Кольцо целых чисел является подкольцом поля вещественных чисел и подкольцом кольца многочленов .

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также[править | править вики-текст]