Длина модуля

Длина модуля — способ измерения «размера» модуля, обобщающий понятие размерности векторного пространства. Длина определяется как максимальная длина цепочки вложенных подмодулей.

Определение

Пусть M — (левый или правый) модуль над кольцом R. Мы говорим что длина цепочки его подмодулей вида

$N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}$

равна n, то есть считаем число строгих включений, а не число подмодулей. Длина модуля M — это наибольшая длина цепочки среди всех цепочек его подмодулей. Если наибольшей длины цепочки не существует, длина M равна бесконечности.

Примеры

• Единственный модуль длины 0 — нулевой модуль. Модули длины 1 называются простыми.
• Для конечномерного векторного пространства длина совпадает с размерностью.
• Длина циклической группы $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ равна числу множителей в разложении n на простые.

Свойства

Модуль имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является артиновым и нётеровым.

Пусть

$0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0$

является короткой точной последовательностью модулей. В этом случае M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, причём длина M равна сумме их длин. В частности, длина прямой суммы модулей равна сумме длин компонент.

Литература

• Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) — ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
• Barile, Margherita. Module Length на сайте Wolfram MathWorld.