Дробное интегро-дифференцирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Дробное интегро-дифференцирование
Основная тема фрактальное исчисление[вд]
Определяющая формула

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Обычно оператор производной/интеграла дробного порядка обозначается следующим образом:

Определения

[править | править код]

Три наиболее употребительных формулы:

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
 
где .
 
Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

[править | править код]

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как :

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

Поэтому,

что сводится к

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном , дифференцирование заменяется умножением

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно , получаем

Основные свойства

[править | править код]
  • Линейность:
  • Правило нуля:
  • Дробное интегро-дифференцирование произведения:
  • Полугрупповое свойство:

в общем случае не выполняется[1].

Некоторые важные формулы

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.

Литература

[править | править код]
  • Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.
  • Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — М.: Наука, 2005. — 199 с.
  • Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — ISBN 5-9221-0440-3.
  • Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5.
  • Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — М., Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.
  • Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
  • Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. — New York: Gordon and Breach, 1993.
  • Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. — New York: Wiley, 1993.
  • Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. — Imperial College Press, 2010. — 368 p.
  • Podlubny I. Fractional Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1999.
  • Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus // Lect. Notes Math. — 1975. — Vol. 457. — P. 1—36.
  • Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. — Springer, 2010. — 450 p.
  • Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. — Springer, Higher Education Press, 2012. — 385 p.