Дробное интегро-дифференцирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Сам по себе оператор служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Обычно оператор обозначается следующим образом:

Определения[править | править вики-текст]

Три наиболее употребительных формулы:

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
 
 
Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования[править | править вики-текст]

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как :

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

Поэтому,

что сводится к

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном , дифференцирование заменяется умножением

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно , получаем

Основные свойства[править | править вики-текст]

  • Линейность:
  • Правило нуля:
  • Дробное интегро-дифференцирование произведения:
  • Полугрупповое свойство:

в общем случае не выполняется[1].

Некоторые важные формулы[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.

Журналы[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.