Замыкание (алгебра)

В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть $M$ — подмножество носителя $A$ некоторой алгебры ${\mathfrak {A}}=\langle A,\Sigma \rangle$. Тогда замыканием множества $M$ относительно сигнатуры $\Sigma$ называется минимальная подалгебра $\langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak {A}}$, содержащая $M$ ($M\subseteq A_{0}$).

Примеры:

• Замыканием множества $\{1\}$ относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел $\mathbb {N}$.
• Замыканием множества $\{1\}$ относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел $\mathbb {Z}$,
• Замыкание множества $\{0\}$ относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

• Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
• Подмножество натуральных чисел $\mathbb {N}$ в множестве целых чисел $\mathbb {Z}$ замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

См. также

• Алгебраическое замыкание поля
• Замыкание отношения
• Оператор замыкания