Сложение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
3 + 2 = 5

Суммирование (прибавление) — одно из основных математических действий (операций), обозначается с помощью знака «плюс»: a+b. Суммирование определяется, как действие, в результате которого по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), обозначающее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых.

В качестве примера, на картинке справа запись 3 + 2 обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме дает пять яблок. Таким образом, 3 + 2 = 5. Помимо счета фруктов, сложение также может представлять объединение других физических и абстрактных величин, для чего могут вводиться такие понятия как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.

Историческая справка[править | править исходный текст]

Первое появление знаков «плюс» и «минус».

Знак плюс для операции сложения (а также знак минуса) придумали в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана, изданной в 1489 году.

До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Свойства сложения в арифметике[править | править исходный текст]

Сложение обладает следующими свойствами:

В других системах (чисел, объектов) любое из этих свойств может не выполняться.

Геометрическое сложение в наглядной арифметике[править | править исходный текст]

Если человек представляет себе количество только в виде набора предметов (пальцев на руках, счётных палочек и др.), то подсчёт суммы A+B превращается в многошаговую процедуру A + 1+1+1+...+1. В технологии быстрого эффективного счёта существуют свои "ноу-хау" о том, как быстро выполнять сложение двух однозначных чисел.

Конфигурацией называется расположение конечного числа элементов на плоскости.

Если метки имеют свои номера, то конфигурация называется нумерованной. Общепринятыми нумерованными конфигурациями являются: числовая линия, телефонная Т-матрица.

На числовой линии принято выделять точки, которым приписаны полные десятки 10, 20, 30, ... . Для целей устного счёта полезно отмечать ещё и числа, кратные пяти: 5, 10, 15, 20, 25, ...

Метод базовых чисел использует предстваление каждого числа в сумму базового полного десятка и малого добавка (приращения), которое может быть как положительным, так и отрицательным. Теперь сумма двух слагаемых может рассматриватья как сумма базовых чисел и сумма приращений.

Пример. 7 + 8 = (10 - 3) + (10 - 2) = (10 + 10) - (3 + 2) = 20 - 5 = 15.

Пример. 7 + 8 = (5 + 2) + (5 + 3) = (5 + 5) + (2 + 3) = 10 + 5 = 15.

В нумерованной конфигурации на плоскости можно показать сложение как переход из точки A по вектору (+B) в точку B.

На числовой линии (A+1) - это шаг от точки A направо до соседней точки. Суммы "+7" или "+8" так показывать не удобно из-за того, что трудно представить в уме большое количество меток или единичных отрезков.

На телефонной Т-матрице, представляющей собой таблицу из трех строк и трех столбцов, принят способ нумерации ячеек в соответствии со структурным правилом:

  • каждый шаг направо - это "+1",
  • каждый шаг вниз - это "+3".

Договоримся, что будем показывать примеры сложения однозначных чисел A + B = [ D; E ] стрелочками - указателями единиц суммы (A → E).

Листом сложения называется множество примеров A+B с одинаковым слагаемым "+B".

Для таблицы сложения однозначных положительных чисел существует любопытная геометрическая интерпретация.

Теорема. Пусть нумерованная конфигурация имеет 10 меток с номерами от 0 до 9.

Тогда существует взаимно-однозначное соответствие между примерами сложения A + B = [D; E] и

стрелочками указателями единиц (A → E) в нумерованной конфигурации.


Стрелочки-указатели являются отличными подсказками в устном счёте. Указывая точку на Т-матрице, вычислитель осознаёт величину числа по визуальным признакам. Ему уже не нужно называть соответствующую цифру словами, что существенно ускоряет счёт.

Возьмём 9 телефонных матриц, расположив их в три ряда и три столбца. Будем рисовать на них указатели для примеров девяти листов сложения (+B). (Нуль исключим ввиду тривиальности).

Получим запоминающуюся схему, которая называется девятилистник сложения.

Девятилистник сложения для однозначных натуральных чисел. Допускается параллельный перенос указателей.
Девятилистник сложения для однозначных натуральных чисел. Нарисованы указатели для примеров типа "нечёт"+"чёт"="нечёт" и "чёт"+5="нечёт".

Алгоритм для единиц суммы A + B = [D; E] на телефонной Т-матрице.

Шаг 1. Установим фишку на число A.

Шаг 2. Вспомним вид молнии (+B) и передвинем фишку по указателю B-молнии, выходящему из точки A.

Тогда фишка покажет цифру единиц E суммы A + B.


При определении геометрическим способом цифр D и E суммы A+B сначала определяется вектор (A → E) и цифра единиц E.


Алгоритм для десятков суммы A + B = [D; E].

Десяток D = 1, если на указателе (A → E) есть инверсия, то есть, A > E.


Указатели единиц для суммы A+B чрезвычайно полезны для быстрого устного счёта.

Пример. 7 + 7 = ?

Поставим фишку в ячейку 7 на Т-матрице. Вспомним, что 7-я молния показывает основным указателем вверх.

(Вспомогательные указатели 7-ой молнии ведут направо вниз (1 → 8) и (2 → 9) ).

Перемещаем фишку на шаг вверх. Получаем цифру единиц суммы E (7 + 7) = 4, так как 4 находится над цифрой 7 на Т-матрице.

На указателе (7 → 4) есть инверсия, поэтому десятки суммы D = 1.


Этот пример 7 + 7 = 14 решён в одно (!) действие. Сравните приведённое выше геометрическое решение и стандартный алгоритм, требующий выделения полного десятка, который выполняется в три (!) действия:

7 + 7 = (7 + (10 - 7)) + (7 - 3) = (7 + 3) + 4 = 10 + 4 = 14.


Чтобы применять геометрические методы и Т-матрицу в устном счёте, человек должен пользоваться стандартом Т-матрицы для устного счёта. В стандартные соглашения входят два главных требования. Человек-вычислитель должен знать

  • где находится заданное число на Т-матрице, и показать его радиальным лучом, [ задача: число → место ];
  • знать, какое число находится в заданной ячейке Т-матрицы, [ задача: место → число ].

Подробнее см. статью Творогов А.В. Цифровые вертушки в игровом методе обучения сложению. [1]

Рекорды в устном счёте[править | править исходный текст]

Недавно зарегистрирован рекорд скорости сложения в устном счёте.

Двенадцатилетняя девочка Ванг Уи-ху из Каохсианга (Тайвань) сложила 100 однозначных чисел за 18,98 секунд, побив предыдущий рекорд Гиннеса в 19,23 секунды. [2]

В этом феномене проявляются две составляющих успеха: личные способности супервычислителя и используемые им алгоритмы.

Традиционные аудиомоторные методы обучения не могут натренировать человека до такой степени, чтобы он достиг рекордов вычислений. Скоростной счёт может быть реализован только на основе визуальных компонент мышления. [3]

Сложение в алгебре[править | править исходный текст]

В общей алгебре сложением может называться любая бинарная, коммутативная и ассоциативная операция. В случае, если на этом множестве определено также умножение, то сложение предполагается дистрибутивным по отношению к нему.

Запись при помощи буквы Σ[править | править исходный текст]

См. Сумма (математика).

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Творогов А. В. Цифровые вертушки в игровом методе обучения сложению. Проблемы управления качеством образования: сборник статей VIIВсероссийской научно-практической конференции. МНИЦ ПГСХА. – Пенза: ПГСХА, 2012 г. – с. 72 – 79.
  2. http://th.gio.gov.tw/show.cfm?news_id=1349 11.12.2000
  3. Творогов В. Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счета. Кн.1: Основы. М.: Издательский дом «ЛИБРОКОМ», 2011.– 208 с.

См. также[править | править исходный текст]