Алгебра над полем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Подалгебра»)
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A — векторное пространство над полем K, снабженное операцией , называемой умножением. Тогда A является алгеброй над K, если для любых выполняются следующие свойства:

  • .

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем K — это кольцо с единицей A, снабженное гомоморфизмом колец с единицей , таким, что принадлежит центру кольца A (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что A является векторным пространством над K со следующей операцией умножения на скаляр :

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Гомоморфизм K-алгебр — это K-линейное отображение, такое что для любых из области определения.
  • Подалгебра алгебры над полем K — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит.
  • Левый идеал K-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
  • Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов и уравнения и разрешимы[1]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
  • Центр алгебры А — это множество элементов , таких что для любого элемента .

Примеры[править | править вики-текст]

Ассоциативные алгебры[править | править вики-текст]

Неассоциативные алгебры[править | править вики-текст]

Структурные коэффициенты[править | править вики-текст]

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем K достаточно указать её размерность и структурных коэффициентов , являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

где  — некоторый базис A. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если K — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра A является свободным модулем.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. — ISBN 1-4020-2690-0