Индикатор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества  — это функция, определённая на множестве , которая указывает на принадлежность элемента подмножеству .

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть — выбранное подмножество произвольного множества . Функция , определённая следующим образом:

называется индикатором множества .

Альтернативными обозначениями индикатора множества являются: или , а иногда даже . Нотация Айверсона позволяет обозначение .

(Греческая буква происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение может означать функцию идентичности.

Основные свойства[править | править вики-текст]

Отображение, которое связывает подмножество с его индикатором инъективно. Если и — два подмножества , то

Более общо, предположим — это набор подмножеств . Ясно, что для любого

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех , которые не принадлежат ни одному множеству и 0 иначе. Поэтому

Разворачивая левую часть, получаем

где — мощность . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если вероятностное пространство с вероятностной мерой , а измеримое множество, то индикатор становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография[править | править вики-текст]

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. также[править | править вики-текст]