Интерполяционные формулы Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_{i+1}-x_i=h=\mathrm{const}, то есть x_i=x_0+ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона[править | править исходный текст]

В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

P_n(x)=\sum_{m=0}^{n} C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\,C_m^k\,f(k)

где C_x^m — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона[править | править исходный текст]

или первая интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд: P_n(x) = y_0 + q \Delta y_0 + \frac{q(q-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \ldots + 
\frac{q(q-1)\ldots(q-n+1)}{n!} \Delta^n y_0, где q=\frac{x-x_0}h, \; y_i=f_i, а выражения вида \Delta^ky_0 — конечные разности.

Обратная интерполяционная формула Ньютона[править | править исходный текст]

или вторая интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования назад: P_n(x) = y_n + q \Delta y_{n-1} + \frac{q(q+1)}{2!} \Delta^2 y_{n-2} + \ldots + 
\frac{q(q+1)\ldots(q+n-1)}{n!} \Delta^n y_0, где q=\frac{x-x_n}h

См. также[править | править исходный текст]

ссылки[править | править исходный текст]