Конечные разности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

Определение[править | править код]

Три типа конечных разностей.

Пусть для некоторой точки задано узлов интерполяции с шагом и известны значения функции в этих узлах:

Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть

Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть

Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть

Разности высших порядков[править | править код]

Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между -ой и -ой конечными разностями 1-го порядка, то есть

Соответственно, восходящей конечной разностью порядка (для ) называют разность между -ой и -ой конечными разностями порядка , то есть

Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков:

Через операторы[править | править код]

Если ввести оператор смещения такой, что , то можно определить оператор восходящей конечной разности как . Для него справедливо соотношение

,

которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков.

Общие формулы[править | править код]

Часто также используется другое обозначение:  — восходящая конечная разность порядка от функции c шагом , взятая в точке . Например, . Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение , а для центральных — .

В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов:

Общая формула для используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.

Пример[править | править код]

Пример вычисления конечных разностей

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для

В зелёных клетках расположены значения , в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.

Связь с производными[править | править код]

Производная функции в точке определяется с помощью предела:

Под знаком предела стоит восходящая конечная разность , делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора:

Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:

Центральная разность даёт более точное приближение:

Конечные разности порядка , делённые на шаг, возведённый в степень , аппроксимируют производную порядка . Порядок погрешности приближения при этом не меняется:

Связанные понятия[править | править код]

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Литература[править | править код]

См. также[править | править код]